Problema resuelto de Física: Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

a) Ley de Lorentz. Una carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec v$ en un campo magnético $\vec B$ sufre la fuerza$$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$$

• Módulo: $F = |q|\,v\,B\,\operatorname{sen}\theta$, con $\theta$ el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$. Es nula si la carga está quieta o se mueve paralela al campo, y máxima ($F = |q|vB$) si se mueve perpendicular a él.
• Dirección: perpendicular al plano que forman $\vec v$ y $\vec B$.
• Sentido: el del producto vectorial (regla de la mano derecha o del sacacorchos) para una carga positiva, y el contrario para una negativa.

Consecuencia: la fuerza magnética no hace trabajo. Como $\vec F$ es siempre perpendicular a $\vec v$, la potencia $\vec F\cdot\vec v$ es nula: el campo magnético cambia la dirección de la velocidad, pero no su módulo ni la energía cinética de la carga.

Ejemplo: velocidad perpendicular al campo. Si $\vec v\perp\vec B$ y el campo es uniforme, la fuerza tiene módulo constante $|q|vB$ y es siempre perpendicular a la velocidad: es una fuerza centrípeta. La carga describe un movimiento circular uniforme en un plano perpendicular a $\vec B$. Igualando la fuerza magnética a la centrípeta:$$|q|\,v\,B = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$y el periodo de giro, que no depende de la velocidad, es$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{|q|\,B}$$Por ejemplo, si $\vec B$ entra en el papel, un protón que se mueve hacia la derecha nota una fuerza hacia arriba y gira en sentido antihorario, mientras que un electrón gira en sentido horario y con un radio mucho menor (su masa es unas 1840 veces menor). En esto se basan el ciclotrón y el espectrógrafo de masas. Si la velocidad formara otro ángulo con el campo, la componente paralela no se vería afectada y la trayectoria sería una hélice.

b) Fuerza sobre un conductor. Una corriente es un conjunto de cargas en movimiento, así que un hilo con corriente dentro de un campo magnético también nota fuerza: la suma de las fuerzas de Lorentz sobre sus portadores. En un tramo recto de longitud $L$, con $n$ cargas $q$ por unidad de volumen, sección $S$ y velocidad de arrastre $\vec v_d$, hay $N = nSL$ cargas, y$$\vec F = N\,q\,(\vec v_d\times\vec B) = (n\,q\,v_d\,S)\,\vec L\times\vec B = I\,(\vec L\times\vec B)$$donde $I = nqv_dS$ es la intensidad y $\vec L$ es un vector de módulo la longitud del hilo y sentido el de la corriente.

• Módulo: $F = I\,L\,B\,\operatorname{sen}\theta$, con $\theta$ el ángulo entre el hilo y el campo; nula si el hilo es paralelo a $\vec B$ y máxima ($ILB$) si es perpendicular.
• Dirección y sentido: perpendicular al hilo y al campo, por la regla de la mano derecha aplicada a $\vec L\times\vec B$.

Ejemplo: un hilo horizontal de 0,5 m con 2 A, perpendicular a un campo de 0,1 T, nota una fuerza de $F = 2\cdot 0{,}5\cdot 0{,}1 = 0{,}1\ \text{N}$. Este efecto es el fundamento del motor eléctrico (una espira con corriente en un campo sufre un par de fuerzas que la hace girar) y de los altavoces, y explica la atracción entre dos hilos paralelos con corrientes del mismo sentido.