Problema resuelto de Física: Efecto fotoeléctrico y cuantizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

a) Energía de los fotones.$$E = h\,f = \frac{h\,c}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{150\cdot 10^{-9}} = 1{,}33\cdot 10^{-18}\ \text{J}\ \ (8{,}29\ \text{eV})$$Energía cinética máxima. El campo de frenado hace sobre el electrón un trabajo $-eV_0$ que anula justo la energía cinética de los más rápidos:$$E_{c,\text{máx}} = e\,V_0 = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}25 = 2{,}0\cdot 10^{-19}\ \text{J}\ \ (1{,}25\ \text{eV})$$De paso, el trabajo de extracción del metal es $W_0 = E - E_{c,\text{máx}} = 1{,}13\cdot 10^{-18}\ \text{J} \approx 7{,}0\ \text{eV}$.

b) Momento del electrón. De $E_c = \dfrac{p^2}{2m}$:$$p = \sqrt{2\,m_e\,E_{c,\text{máx}}} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-19}} = 6{,}03\cdot 10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m/s}$$(La velocidad es $v = p/m_e = 6{,}6\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$, muy por debajo de $c$: el tratamiento clásico es válido.)

Longitud de onda de De Broglie.$$\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2\,m_e\,E_c}} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}03\cdot 10^{-25}} = 1{,}10\cdot 10^{-9}\ \text{m} = 1{,}1\ \text{nm}$$Es del orden de las distancias entre átomos de un cristal: por eso estos electrones se pueden difractar.

c) Ecuación de Einstein para las dos frecuencias. La frecuencia inicial es$$f_1 = \frac{c}{\lambda} = \frac{3\cdot 10^{8}}{150\cdot 10^{-9}} = 2{,}0\cdot 10^{15}\ \text{Hz},\qquad f_2 = 2f_1 = 4{,}0\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$$$$h\,f_1 = W_0 + e\,V_1\qquad\qquad h\,f_2 = W_0 + e\,V_2$$Restando (el trabajo de extracción se va porque el metal es el mismo):$$h\,(f_2 - f_1) = e\,(V_2 - V_1)\quad\Longrightarrow\quad h = \frac{e\,(V_2 - V_1)}{f_2 - f_1} = \frac{e\,(V_2 - V_1)}{f_1}$$$$h = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,(9{,}54 - 1{,}25)}{2{,}0\cdot 10^{15}} = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$$Coincide con el valor dado en los datos, lo que confirma que las medidas son coherentes. Fíjate en que duplicar la frecuencia no duplica el potencial de frenado: lo multiplica por casi 8, porque lo que se duplica es la energía del fotón, y el trabajo de extracción se resta siempre igual.