Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Distancias. De cada carga a P (hipotenusa de un triángulo de catetos 1,5 m y 1 m):$$r_1 = r_2 = \sqrt{1{,}5^2 + 1^2} = \sqrt{3{,}25} = 1{,}803\ \text{m}$$y de cada carga a M, $d = 1{,}5\ \text{m}$.

a) Campo de $Q_1$ en P. Apunta desde $Q_1$ hacia P, es decir, según el vector unitario $\vec u_1 = \dfrac{(1{,}5;\ 1)}{\sqrt{3{,}25}}$:$$E_1 = K\frac{Q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1\cdot 10^{-6}}{3{,}25} = 2{,}77\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$$$\vec E_1 = 2{,}77\cdot 10^{3}\,\frac{1{,}5\,\vec i + \vec j}{1{,}803} = (2{,}30\cdot 10^{3}\,\vec i + 1{,}54\cdot 10^{3}\,\vec j)\ \text{N/C}$$Campo de $Q_2$ en P. Apunta desde $Q_2$ hacia P, según $\vec u_2 = \dfrac{(-1{,}5;\ 1)}{\sqrt{3{,}25}}$, y es el doble porque la carga es el doble:$$E_2 = K\frac{Q_2}{r_2^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{3{,}25} = 5{,}54\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$$$\vec E_2 = 5{,}54\cdot 10^{3}\,\frac{-1{,}5\,\vec i + \vec j}{1{,}803} = (-4{,}61\cdot 10^{3}\,\vec i + 3{,}07\cdot 10^{3}\,\vec j)\ \text{N/C}$$Superposición.$$\vec E_P = \vec E_1 + \vec E_2 = (-2{,}30\cdot 10^{3}\,\vec i + 4{,}61\cdot 10^{3}\,\vec j)\ \text{N/C}$$$$|\vec E_P| = \sqrt{(2{,}30\cdot 10^{3})^2 + (4{,}61\cdot 10^{3})^2} = 5{,}15\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$El campo apunta hacia arriba y hacia la izquierda: domina la carga de la derecha, que es mayor y «empuja» hacia la izquierda. Forma unos $116{,}6^\circ$ con el semieje $+x$.

b) Potencial en M. Las dos cargas están a 1,5 m de M:$$V_M = K\frac{Q_1}{d} + K\frac{Q_2}{d} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1\cdot 10^{-6}}{1{,}5} + \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{1{,}5} = 6\cdot 10^{3} + 12\cdot 10^{3} = 1{,}8\cdot 10^{4}\ \text{V}$$c) Potencial en P. Necesitamos también el del punto de salida:$$V_P = K\frac{Q_1 + Q_2}{r} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-6}}{1{,}803} = 1{,}50\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Trabajo del campo. El trabajo que hace el campo para llevar $q$ de P a M es igual a la disminución de energía potencial:$$W_{P\to M}^{\text{campo}} = -\Delta E_p = q\,(V_P - V_M) = 1\cdot 10^{-6}\,(1{,}498\cdot 10^{4} - 1{,}8\cdot 10^{4}) = -3{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Interpretación. El trabajo del campo es negativo: llevamos una carga positiva hacia un punto de mayor potencial (más cerca de las dos cargas positivas, que la repelen), así que el campo se opone al movimiento. Una fuerza exterior tendría que hacer un trabajo de $+3{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{J}$ para llevarla (sin cambiar su energía cinética).