Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Radio de la órbita. Lo medimos desde el centro de la Tierra y en metros:$$r = R_T + h = 6371\ \text{km} + 315\ \text{km} = 6686\ \text{km} = 6{,}686\cdot 10^{6}\ \text{m}$$a) Gravedad en la órbita. La intensidad del campo gravitatorio de la Tierra a una distancia $r$ de su centro es:$$g = \frac{G\,M_T}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{(6{,}686\cdot 10^{6})^2} = 8{,}91\ \text{m/s}^2$$Es algo menor que en la superficie ($9{,}81\ \text{m/s}^2$), pero ni mucho menos cero: los astronautas «flotan» porque caen continuamente junto con la nave, no porque no haya gravedad.

b) Velocidad orbital. En la órbita circular la gravedad es la aceleración centrípeta:$$g = \frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{g\,r} = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} = \sqrt{8{,}908\cdot 6{,}686\cdot 10^{6}} = 7{,}72\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Periodo. Una vuelta es una circunferencia de radio $r$:$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{6{,}686\cdot 10^{6}}{8{,}908}} = 5{,}44\cdot 10^{3}\ \text{s}\ \ (\approx 91\ \text{min})$$Vueltas en 90 s.$$N = \frac{t}{T} = \frac{90}{5444} = 0{,}0165\ \text{vueltas}$$Es decir, en 90 s la nave solo recorre un 1,65 % de la órbita (unos $6^\circ$ de arco).

c) Energía de la nave en órbita. Sumando la cinética ($\tfrac12 mv^2 = \tfrac12 GM_Tm/r$) y la potencial ($-GM_Tm/r$):$$E_{\text{órbita}} = \frac{1}{2}\frac{G\,M_T\,m}{r} - \frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2r}$$Condición de escape. Para abandonar la influencia de la Tierra con el mínimo gasto, la nave debe llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica final $E_\infty = 0$. La energía que hay que aportar es:$$\Delta E = E_\infty - E_{\text{órbita}} = \frac{G\,M_T\,m}{2r} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 2500}{2\cdot 6{,}686\cdot 10^{6}} = 7{,}44\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Coincide con la energía cinética que ya tiene la nave en órbita: hay que duplicarle la energía cinética (multiplicar su velocidad por $\sqrt2$, hasta $1{,}09\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$).