Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

El campo y el potencial de una masa puntual. Una masa $M$ (puntual, o esférica fuera de ella) crea a una distancia $r$ un campo gravitatorio y un potencial$$\vec g = -\frac{G\,M}{r^2}\,\vec u_r\qquad V = -\frac{G\,M}{r}$$donde $\vec u_r$ es el vector unitario que va de la masa al punto. El campo es atractivo (apunta hacia $M$) y el potencial es negativo, con el origen en el infinito.

Líneas de fuerza. Son líneas tangentes en cada punto al vector campo $\vec g$ y orientadas en su sentido; indican la trayectoria inicial que seguiría una masa de prueba soltada en reposo. Su densidad (número de líneas por unidad de superficie perpendicular) es proporcional a la intensidad del campo. No se cortan nunca, porque en cada punto el campo tiene una sola dirección.

Para una masa puntual son rectas radiales que convergen en la masa, con el sentido hacia ella (el campo gravitatorio es atractivo: las líneas «mueren» en las masas, nunca nacen de ellas). Al alejarse se separan, reflejando que $g$ disminuye como $1/r^2$.

Superficies equipotenciales. Son el lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial. Como $V = -GM/r$ solo depende de $r$, son esferas concéntricas centradas en la masa (en un dibujo plano, circunferencias). Si se dibujan con saltos iguales de potencial, $\Delta V$ constante, quedan más juntas cerca de la masa, donde el campo es más intenso, y más separadas lejos.

Relación entre ambas.

• Son perpendiculares: al desplazar una masa $m$ sobre una equipotencial, el trabajo del campo es $W = -m\,\Delta V = 0$; como $W = \vec F\cdot d\vec r$, la fuerza (y el campo) es perpendicular a cualquier desplazamiento sobre la superficie. Aquí se ve directamente: radios y esferas concéntricas se cortan en ángulo recto.
• El campo apunta hacia los potenciales decrecientes: $\vec g = -\nabla V$. El potencial crece (se hace menos negativo) al alejarse, y el campo apunta hacia dentro, hacia donde $V$ disminuye. Una masa abandonada en reposo cae espontáneamente hacia potenciales menores, perdiendo energía potencial.

Dibujo. Se dibuja la masa $M$ en el centro; a su alrededor, varias circunferencias concéntricas (las equipotenciales, cada vez más separadas hacia fuera, rotuladas con $V_1 < V_2 < V_3 < 0$ de dentro afuera) y, cortándolas perpendicularmente, varias rectas radiales con flechas apuntando hacia $M$ (las líneas de fuerza).