Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Contexto. Johannes Kepler obtuvo estas tres leyes a comienzos del siglo XVII a partir de las observaciones de Tycho Brahe sobre el movimiento de los planetas. Son leyes empíricas; Newton demostró después que se deducen de su ley de gravitación.

Primera ley (de las órbitas). Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse. Por eso la distancia al Sol varía: el punto más cercano es el perihelio y el más lejano, el afelio. (Una circunferencia es una elipse con los dos focos juntos.)

Segunda ley (de las áreas). La recta que une el Sol con un planeta (radio vector) barre áreas iguales en tiempos iguales: la velocidad areolar $dA/dt$ es constante. En consecuencia, el planeta va más deprisa en el perihelio que en el afelio. Esta ley es equivalente a la conservación del momento angular del planeta respecto del Sol, $\vec L = \vec r\times m\vec v$ constante, que se cumple porque la fuerza gravitatoria es central (paralela a $\vec r$, con momento nulo); de hecho $dA/dt = L/(2m)$.

Tercera ley (de los periodos). El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita:$$T^2 = k\,a^3$$con la misma constante $k$ para todos los planetas que giran alrededor del Sol (y, en general, para todos los cuerpos que orbitan el mismo astro central).

Deducción de la tercera ley para órbitas circulares. Un planeta de masa $m$ describe una circunferencia de radio $r$ alrededor del Sol, de masa $M$. La única fuerza es la gravitatoria, que apunta al centro y hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M}{r}$$Como el movimiento es circular uniforme, en un periodo recorre una circunferencia: $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Sustituyendo:$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M}{r}\quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$Es la tercera ley, con $r$ (el radio) en el papel del semieje mayor y la constante$$k = \frac{4\pi^2}{G\,M}$$que solo depende de la masa del cuerpo central, no de la del planeta: por eso es la misma para todos los planetas del Sistema Solar. Esta relación permite, por ejemplo, calcular la masa del Sol (o de un planeta con satélites) midiendo el periodo y el radio de una órbita.