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Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Enunciado

Movimiento armónico simple. Ejemplos. Ecuación. Definición de las magnitudes. Ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.

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Resultado

MAS: oscilación periódica causada por una fuerza recuperadora

F = -kx

. Ejemplos: muelle, péndulo con ángulos pequeños, átomos de un sólido. Ecuación

x = A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0)

, con

A

amplitud,

\omega = 2\pi/T = 2\pi f

pulsación y

\varphi_0

fase inicial.

v = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

a = -A\omega^2\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una cuestión de teoría y el propio enunciado da el guion: qué es un MAS (con su causa, una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento), varios ejemplos, la ecuación

x(t)

, el significado y las unidades de cada magnitud, y la velocidad y la aceleración, que salen derivando. Conviene terminar con

a = -\omega^2 x

, la relación que caracteriza el MAS.

Desarrollo

Qué es un MAS. Es un movimiento oscilatorio y periódico en torno a una posición de equilibrio, causado por una fuerza que tiende a devolver el cuerpo al equilibrio y que es proporcional a la distancia a él:

F = -k\,x

Aplicando la segunda ley de Newton,

m\,a = -k\,x

, es decir,

a = -\dfrac{k}{m}\,x

: la aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario, siempre hacia el equilibrio. También es un MAS la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme.

Ejemplos.

Una masa sujeta a un muelle que oscila sin rozamiento (ley de Hooke), con $\omega = \sqrt{k/m}$ .
El péndulo simple cuando las oscilaciones son pequeñas, con $\omega = \sqrt{g/L}$ .
Las vibraciones de los átomos de un sólido, de las ramas de un diapasón o de cada punto de una cuerda por la que se propaga una onda armónica.

Ecuación. La elongación en función del tiempo es

x(t) = A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0)

(con coseno es igualmente válida; solo cambia el valor de la fase inicial).

Magnitudes.

Elongación $x$ (m): posición respecto del equilibrio en cada instante.
Amplitud $A$ (m): elongación máxima; el cuerpo oscila entre $-A$ y $+A$ .
Periodo $T$ (s): tiempo que tarda en una oscilación completa. Frecuencia $f = 1/T$ (Hz): oscilaciones por segundo.
Pulsación o frecuencia angular $\omega$ (rad/s): $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ .
Fase $\omega t + \varphi_0$ (rad), que fija el estado de vibración en cada instante, y fase inicial $\varphi_0$ , que indica la posición y el sentido del movimiento en $t = 0$ .

Velocidad. Derivando la elongación:

v(t) = \frac{dx}{dt} = A\,\omega\cos(\omega t + \varphi_0)\qquad\text{o bien}\qquad v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}

Es máxima (

v_\text{máx} = A\omega

) al pasar por el equilibrio y nula en los extremos.

Aceleración. Derivando la velocidad:

a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^2\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2\,x

Es máxima en valor absoluto (

a_\text{máx} = A\omega^2

) en los extremos y nula en el equilibrio, y siempre apunta hacia el equilibrio. Comparando con

a = -\frac{k}{m}x

resulta

\omega = \sqrt{k/m}

T = 2\pi\sqrt{m/k}

: el periodo no depende de la amplitud.

Consejo

Sigue el orden del enunciado y no te dejes ninguna parte: los ejemplos y las unidades de cada magnitud también puntúan.

Escribe expresamente $a = -\omega^2 x$ y explica el signo menos (la aceleración apunta siempre hacia el equilibrio): es la idea central del MAS.