Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

a) Amplitud. Planteamos las dos ecuaciones:$$F_\text{máx} = k\,A = 1{,}5\cdot 10^{-3}\ \text{N}\qquad E = \tfrac12\,k\,A^2 = 3\cdot 10^{-5}\ \text{J}$$Dividiendo la segunda entre la primera:$$\frac{E}{F_\text{máx}} = \frac{A}{2}\quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2E}{F_\text{máx}} = \frac{2\cdot 3\cdot 10^{-5}}{1{,}5\cdot 10^{-3}} = 0{,}04\ \text{m} = 4\ \text{cm}$$b) Pulsación. Con $T = 2\ \text{s}$:$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\ \text{rad/s}$$Fase inicial. Tomamos $x(t) = A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0)$. En $t = 0$:$$0{,}02 = 0{,}04\operatorname{sen}\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}\varphi_0 = 0{,}5\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}\ \ \text{o}\ \ \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$$Las dos soluciones corresponden a pasar por $x_0 = 2\ \text{cm}$ alejándose del origen ($\varphi_0 = \pi/6$, velocidad positiva) o acercándose a él ($\varphi_0 = 5\pi/6$, velocidad negativa). El enunciado no dice hacia dónde se mueve; tomamos la primera, que es la habitual:$$x(t) = 0{,}04\operatorname{sen}\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{m}$$(Si la partícula se moviera hacia el origen, sería $x(t) = 0{,}04\operatorname{sen}(\pi t + 5\pi/6)\ \text{m}$.)

c) Constante de recuperación. De la fuerza máxima:$$k = \frac{F_\text{máx}}{A} = \frac{1{,}5\cdot 10^{-3}}{0{,}04} = 3{,}75\cdot 10^{-2}\ \text{N/m}$$Comprobación. $\tfrac12\,k\,A^2 = \tfrac12\cdot 0{,}0375\cdot 0{,}04^2 = 3\cdot 10^{-5}\ \text{J}$, la energía del enunciado. (Como $\omega^2 = k/m$, la masa de la partícula sería $m = k/\omega^2 = 3{,}8\cdot 10^{-3}\ \text{kg}$, unos 4 g.)