FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

País Vasco · 2024 · Julio
Enunciado
Un protón se desplaza con una velocidad v⃗=5 ı⃗ m s−1\vec v = 5\,\vec\imath\ \text{m}\,\text{s}^{-1} en el seno de un campo eléctrico definido por la expresión E⃗=−100 ȷ⃗ V m−1\vec E = -100\,\vec\jmath\ \text{V}\,\text{m}^{-1}. Determina:

a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.

b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético del apartado anterior.

c) Calcula el módulo de la aceleración del protón, y dibuja los vectores velocidad, aceleración y fuerza magnética en un punto de la trayectoria.

Datos: Valor absoluto de la carga del protón =1,6⋅10−19 C= 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}; masa del protón, mp=1,67⋅10−27 kgm_p = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}.
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Resultado
a) B⃗=−20 k⃗ T\vec B = -20\,\vec k\ \text{T}.

b) R=mv/(qB)=2,61⋅10−9 mR = mv/(qB) = 2{,}61\cdot 10^{-9}\ \text{m}.

c) a=v2/R=9,58⋅109 m/s2a = v^2/R = 9{,}58\cdot 10^{9}\ \text{m/s}^2. Velocidad tangente a la circunferencia; fuerza magnética y aceleración, perpendiculares a ella y hacia el centro (con v⃗=5 ı⃗\vec v = 5\,\vec\imath, ambas según +ȷ⃗+\vec\jmath); giro antihorario visto desde +z+z.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Para que el protón siga en línea recta y a velocidad constante, la fuerza total sobre él tiene que ser nula: la fuerza magnética debe anular exactamente a la eléctrica (es un selector de velocidades). Escribimos B⃗=By ȷ⃗+Bz k⃗\vec B = B_y\,\vec\jmath + B_z\,\vec k, hacemos el producto vectorial v⃗×B⃗\vec v\times\vec B y exigimos que q(E⃗+v⃗×B⃗)=0⃗q(\vec E + \vec v\times\vec B) = \vec 0. Si después quitamos el campo eléctrico, solo queda la fuerza magnética, perpendicular a la velocidad: el protón describe una circunferencia, con qvB=mv2/RqvB = mv^2/R. La aceleración es entonces centrípeta y apunta, junto con la fuerza, hacia el centro.
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Desarrollo

a) Condición de movimiento rectilíneo y uniforme. La fuerza de Lorentz total debe ser nula:q E⃗+q (v⃗×B⃗)=0⃗⟹v⃗×B⃗=−E⃗=100 ȷ⃗ V/mq\,\vec E + q\,(\vec v\times\vec B) = \vec 0\quad\Longrightarrow\quad \vec v\times\vec B = -\vec E = 100\,\vec\jmath\ \text{V/m}Producto vectorial. Con B⃗=By ȷ⃗+Bz k⃗\vec B = B_y\,\vec\jmath + B_z\,\vec k (contenido en el plano YZ):v⃗×B⃗=∣ı⃗ȷ⃗k⃗5000ByBz∣=−5Bz ȷ⃗+5By k⃗\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix}\vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\ 5 & 0 & 0\\ 0 & B_y & B_z\end{vmatrix} = -5B_z\,\vec\jmath + 5B_y\,\vec kIgualando componentes a 100 ȷ⃗100\,\vec\jmath:−5Bz=100 ⇒ Bz=−20 T5By=0 ⇒ By=0-5B_z = 100\ \Rightarrow\ B_z = -20\ \text{T}\qquad 5B_y = 0\ \Rightarrow\ B_y = 0B⃗=−20 k⃗ T\vec B = -20\,\vec k\ \text{T}Comprobación. La fuerza eléctrica es qE⃗=−100q ȷ⃗q\vec E = -100q\,\vec\jmath (hacia −y-y) y la magnética, q (5 ı⃗×(−20 k⃗))=−100q (ı⃗×k⃗)=+100q ȷ⃗q\,(5\,\vec\imath\times(-20\,\vec k)) = -100q\,(\vec\imath\times\vec k) = +100q\,\vec\jmath (hacia +y+y): se anulan. El módulo cumple la relación del selector, v=E/B=100/20=5 m/sv = E/B = 100/20 = 5\ \text{m/s}.

b) Radio de giro. Sin campo eléctrico, la fuerza magnética es perpendicular a v⃗\vec v y hace de fuerza centrípeta:q v B=m v2R⟹R=m vq B=1,67⋅10−27⋅51,6⋅10−19⋅20=2,61⋅10−9 mq\,v\,B = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{q\,B} = \frac{1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 5}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 20} = 2{,}61\cdot 10^{-9}\ \text{m}Un radio diminuto, porque la velocidad es muy pequeña y el campo muy intenso.

c) Aceleración. Es la centrípeta del movimiento circular uniforme:a=v2R=q v Bm=1,6⋅10−19⋅5⋅201,67⋅10−27=9,58⋅109 m/s2a = \frac{v^2}{R} = \frac{q\,v\,B}{m} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5\cdot 20}{1{,}67\cdot 10^{-27}} = 9{,}58\cdot 10^{9}\ \text{m/s}^2Dibujo. El protón gira en el plano XY (perpendicular a B⃗\vec B, que apunta hacia −z-z, es decir, «entrando en el papel» si el eje zz sale del papel). En el punto en que su velocidad es v⃗=5 ı⃗\vec v = 5\,\vec\imath (flecha horizontal hacia la derecha, tangente a la circunferencia), la fuerza magnética es F⃗=q v⃗×B⃗=+100q ȷ⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B = +100q\,\vec\jmath: una flecha vertical hacia arriba, hacia el centro de la circunferencia, que queda por encima del protón. La aceleración a⃗=F⃗/m\vec a = \vec F/m tiene la misma dirección y sentido que la fuerza (hacia el centro). Con el campo entrando en el papel, el protón recorre la circunferencia en sentido antihorario.
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Consejo

En el selector de velocidades no basta con el módulo B=E/vB = E/v: el enunciado pide el vector, y el sentido sale del producto vectorial. Comprueba al final que la fuerza magnética y la eléctrica apuntan en sentidos opuestos.

En el dibujo, fuerza y aceleración van siempre en la misma dirección y sentido (hacia el centro), y la velocidad, perpendicular a ellas.
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