Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Masa y radio de la estrella.$$M = 0{,}12\,M_S = 0{,}12\cdot 1{,}99\cdot 10^{30} = 2{,}388\cdot 10^{29}\ \text{kg}\qquad R = 0{,}14\,R_S = 0{,}14\cdot 7\cdot 10^{8} = 9{,}8\cdot 10^{7}\ \text{m}$$a) Gravedad en la superficie. El peso de un cuerpo de masa $m$ en la superficie es la fuerza gravitatoria de la estrella:$$m\,g_0 = \frac{G\,M\,m}{R^2}\quad\Longrightarrow\quad g_0 = \frac{G\,M}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}388\cdot 10^{29}}{(9{,}8\cdot 10^{7})^2} = 1{,}66\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2$$Unas 170 veces la de la Tierra: la estrella es pequeña y muy densa comparada con un planeta.

b) Radio de la órbita. Pasamos el periodo al SI: $T = 11{,}2\cdot 86\,400 = 9{,}677\cdot 10^{5}\ \text{s}$. En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}388\cdot 10^{29}\cdot (9{,}677\cdot 10^{5})^2}{4\pi^2}} = 7{,}23\cdot 10^{9}\ \text{m}$$Es unas 20 veces menor que la distancia Tierra-Sol: el planeta está muy cerca de su estrella, lo que cuadra con un periodo de solo 11 días.

c) Energía para escapar. En la órbita circular, la energía cinética es $E_c = \dfrac{G\,M\,m}{2r}$ (de $v^2 = GM/r$) y la potencial $E_p = -\dfrac{G\,M\,m}{r}$, así que la energía mecánica es$$E_\text{órbita} = E_c + E_p = -\frac{G\,M\,m}{2r}$$Para escapar de la influencia gravitatoria de la estrella, el planeta debe llegar al infinito con energía mecánica nula como mínimo. La energía que hay que suministrarle es$$\Delta E = 0 - E_\text{órbita} = \frac{G\,M\,m}{2r}$$El enunciado no da la masa del planeta, así que la calculamos por kilogramo de planeta:$$\frac{\Delta E}{m} = \frac{G\,M}{2r} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}388\cdot 10^{29}}{2\cdot 7{,}23\cdot 10^{9}} = 1{,}10\cdot 10^{9}\ \text{J/kg}$$Es decir, $\Delta E = 1{,}10\cdot 10^{9}\,m$ (julios, con $m$ en kg). Si, como sugiere el enunciado («muy similar a la Tierra»), se tomara para el planeta la masa de la Tierra, $5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ (no es un dato del examen), saldrían unos $6{,}6\cdot 10^{33}\ \text{J}$.