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Efecto fotoeléctrico y cuantización

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

El trabajo de extracción en el efecto fotoeléctrico para el cerio es de

2{,}90\ \text{eV}

.

a) Calcule la energía de los fotoelectrones emitidos, expresada en eV, si una muestra de cerio se ilumina con luz de

330\ \text{nm}

.

b) Obtenga la frecuencia umbral y la frecuencia de los fotones necesaria para que el potencial de frenado de los fotoelectrones sea de

1\ \text{V}

.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;E_{c,\text{máx}} = 0{,}87\ \text{eV}\;}

\boxed{\;f_0 = 7{,}00\cdot 10^{14}\ \text{Hz}\qquad f = 9{,}41\cdot 10^{14}\ \text{Hz}\;}

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Estrategia

Ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética máxima del electrón,

h f = W_0 + E_{c,\text{máx}}

La frecuencia umbral es la del fotón que solo alcanza para arrancar el electrón (

E_c = 0

). El potencial de frenado

V_f

es el que detiene a los electrones más rápidos:

e V_f = E_{c,\text{máx}}

, así que

1\ \text{V}

de frenado son

1\ \text{eV}

de energía cinética.

Desarrollo

a) Energía de un fotón de

330\ \text{nm}

E_f = \frac{h c}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{330\cdot 10^{-9}} = 6{,}03\cdot 10^{-19}\ \text{J} = \frac{6{,}03\cdot 10^{-19}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}\ \text{eV} = 3{,}77\ \text{eV}

Es mayor que el trabajo de extracción, así que hay emisión. Energía cinética máxima de los fotoelectrones:

E_{c,\text{máx}} = E_f - W_0 = 3{,}77 - 2{,}90 = 0{,}87\ \text{eV}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Frecuencia umbral, con

W_0 = 2{,}90\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 4{,}64\cdot 10^{-19}\ \text{J}

f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{4{,}64\cdot 10^{-19}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 7{,}00\cdot 10^{14}\ \text{Hz}

(Corresponde a

\lambda_0 = c/f_0 = 429\ \text{nm}

: luz violeta.)

Con un potencial de frenado de

1\ \text{V}

, la energía cinética máxima es

E_{c,\text{máx}} = e V_f = 1\ \text{eV}

. La energía de los fotones debe ser:

h f = W_0 + e V_f = 2{,}90 + 1 = 3{,}90\ \text{eV} = 3{,}90\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 6{,}24\cdot 10^{-19}\ \text{J}

f = \frac{6{,}24\cdot 10^{-19}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 9{,}41\cdot 10^{14}\ \text{Hz}

Consejo

Trabaja en electronvoltios mientras puedas: el trabajo de extracción ya viene en eV y el potencial de frenado en voltios se traduce directamente ( $1\ \text{V} \to 1\ \text{eV}$ ). Pasa a julios solo para usar $h$ en $\text{J}\,\text{s}$ .

Comprueba siempre que el fotón supera el trabajo de extracción antes de restar: si no, no hay fotoelectrones, por intensa que sea la luz.