FísicaDifícil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)
Enunciado
El planeta Urano posee una densidad de 1,27 g cm−31{,}27\ \text{g}\,\text{cm}^{-3} y un radio de 2,54⋅107 m2{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}. Una sonda espacial de 250 kg250\ \text{kg} gira en una órbita circular alrededor del planeta, con una velocidad orbital de 9,5 km s−19{,}5\ \text{km}\,\text{s}^{-1}.

a) Calcule la masa de Urano y la aceleración centrípeta de la sonda en su movimiento orbital.

b) Si la sonda aumenta su velocidad orbital en 2 km s−12\ \text{km}\,\text{s}^{-1} en dirección tangencial al encender sus motores, obtenga la nueva energía mecánica que alcanzará y razone si la sonda espacial con esa energía mecánica escapará del campo gravitatorio del planeta.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  MU=8,72⋅1025 kgac=1,40 m s−2  \boxed{\;M_U = 8{,}72\cdot 10^{25}\ \text{kg}\qquad a_c = 1{,}40\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}  E′=−6,03⋅109 J<0 ⇒ no escapa (oˊrbita elıˊptica)  \boxed{\;E' = -6{,}03\cdot 10^{9}\ \text{J} < 0\ \Rightarrow\ \text{no escapa (órbita elíptica)}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

La masa de un planeta esférico es su densidad por su volumen, 43πR3\frac43\pi R^3 (con la densidad en kg/m3\text{kg/m}^3).

Para la aceleración centrípeta, ac=v2/ra_c = v^2/r, nos falta el radio de la órbita. Lo da la condición de órbita circular: la gravedad es la fuerza centrípeta, GMm/r2=mv2/rG M m / r^2 = m v^2 / r, de donde r=GM/v2r = G M / v^2.

En b) el encendido es breve: la sonda sigue en el mismo punto (mismo rr, misma energía potencial) pero con más velocidad. Calculamos la nueva energía mecánica; la sonda escapa solo si es mayor o igual que cero.
2

Desarrollo

a) Densidad en el SI: ρ=1,27 g/cm3=1270 kg/m3\rho = 1{,}27\ \text{g/cm}^3 = 1270\ \text{kg/m}^3.MU=ρ⋅43πRU3=1270⋅43π (2,54⋅107)3=8,72⋅1025 kgM_U = \rho\cdot\frac43\pi R_U^3 = 1270\cdot\frac43\pi\,(2{,}54\cdot 10^{7})^3 = 8{,}72\cdot 10^{25}\ \text{kg}Radio de la órbita circular, con v=9,5⋅103 m/sv = 9{,}5\cdot 10^{3}\ \text{m/s}:GMUmr2=mv2r ⇒ r=GMUv2=6,67⋅10−11⋅8,72⋅1025(9,5⋅103)2=6,44⋅107 m\frac{G M_U m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}\ \Rightarrow\ r = \frac{G M_U}{v^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}72\cdot 10^{25}}{(9{,}5\cdot 10^{3})^2} = 6{,}44\cdot 10^{7}\ \text{m}(Unos 3,9⋅107 m3{,}9\cdot 10^{7}\ \text{m} por encima de la superficie.) La aceleración centrípeta:ac=v2r=(9,5⋅103)26,44⋅107=1,40 m s−2a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(9{,}5\cdot 10^{3})^2}{6{,}44\cdot 10^{7}} = 1{,}40\ \text{m}\,\text{s}^{-2}Es el valor del campo gravitatorio de Urano a esa distancia, como debe ser en una órbita.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Nueva velocidad: v′=9,5+2=11,5 km/sv' = 9{,}5 + 2 = 11{,}5\ \text{km/s}, en el mismo punto r=6,44⋅107 mr = 6{,}44\cdot 10^{7}\ \text{m}.Ec′=12 m v′2=12⋅250⋅(1,15⋅104)2=1,65⋅1010 JE_c' = \tfrac12\,m\,v'^2 = \tfrac12\cdot 250\cdot (1{,}15\cdot 10^{4})^2 = 1{,}65\cdot 10^{10}\ \text{J}Ep=−GMUmr=−6,67⋅10−11⋅8,72⋅1025⋅2506,44⋅107=−2,26⋅1010 JE_p = -\frac{G M_U m}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}72\cdot 10^{25}\cdot 250}{6{,}44\cdot 10^{7}} = -2{,}26\cdot 10^{10}\ \text{J}E′=Ec′+Ep=1,653⋅1010−2,256⋅1010=−6,03⋅109 JE' = E_c' + E_p = 1{,}653\cdot 10^{10} - 2{,}256\cdot 10^{10} = -6{,}03\cdot 10^{9}\ \text{J}La energía mecánica sigue siendo negativa: la sonda continúa ligada a Urano y no escapa. Pasa a una órbita elíptica más amplia, con el punto del encendido como el más cercano al planeta.

Lo mismo se ve con la velocidad de escape a esa distancia, ve=2 vorb=2⋅9,5=13,4 km/sv_e = \sqrt{2}\,v_{\text{orb}} = \sqrt2\cdot 9{,}5 = 13{,}4\ \text{km/s}: los 11,5 km/s11{,}5\ \text{km/s} no llegan.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

El criterio de escape es el signo de la energía mecánica: E<0E < 0, ligada; E=0E = 0, escapa justo; E>0E > 0, escapa con velocidad sobrante. Calcúlala siempre en el punto donde conoces rr y vv a la vez.

Atajo útil: en una órbita circular la velocidad de escape es 2\sqrt2 veces la orbital. Para escapar desde aquí habría que añadir 3,9 km/s3{,}9\ \text{km/s}, no 22.

Pasa la densidad a kg/m3\text{kg/m}^3 antes de nada: 1 g/cm3=1000 kg/m31\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
Starlink es una constelación de satélites que ofrece servicios de Internet de banda ancha utilizando órbitas terrestres…
Física · Cataluña · 2026 · SeptiembreSatélites, órbitas y leyes de Kepler
A finales del año 2025, la Generalitat de Catalunya lanzó al espacio un nanosatélite que describe una órbita circular…
Física · Cataluña · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Edmond Halley (1656-1742) estudió los registros históricos de observaciones de cometas de los siglos XVI y XVII…
Física · Cataluña · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · Julio
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →