FísicaDifícil2 pts

Radiactividad y desintegración

También trata: Núcleo atómico y reacciones nucleares

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

La desintegración del polonio-212 (

^{212}\text{Po}

), cuyo periodo de semidesintegración es de

300\ \text{ns}

, produce plomo-208 y la emisión de una partícula alfa (

\alpha

). En este proceso, la energía cinética de la partícula

\alpha

emitida es de

9\ \text{MeV}

.

a) Obtenga la actividad de una muestra de

^{212}\text{Po}

al cabo de

1\ \mu\text{s}

, si inicialmente la muestra contiene

3\ \mu\text{g}

^{212}\text{Po}

.

b) Considerando la partícula

\alpha

como relativista, ¿con qué velocidad sale emitida tras el proceso de desintegración del

^{212}\text{Po}

?

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

; Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

; Masa atómica del

^{212}\text{Po}

M_{^{212}\text{Po}} = 212\ \text{u}

; Masa en reposo de la partícula alfa,

m_\alpha = 6{,}64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A(1\ \mu\text{s}) = 1{,}95\cdot 10^{21}\ \text{Bq}\;}

\boxed{\;v_\alpha = 2{,}08\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\ \ (\approx 0{,}069\,c)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la actividad es

A = \lambda N

y decae exponencialmente igual que el número de núcleos:

A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}

. Necesitamos

\lambda

(del periodo de semidesintegración) y

N_0

(de la masa, con el número de Avogadro). Como

1\ \mu\text{s}

son

10/3

periodos, la actividad cae a

2^{-10/3}

de la inicial.

En b) la energía cinética relativista es

E_c = (\gamma - 1)\,m c^2

: de ahí sale

\gamma

y de

\gamma

, la velocidad.

Desarrollo

a) Constante de desintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{300\cdot 10^{-9}} = 2{,}31\cdot 10^{6}\ \text{s}^{-1}

Núcleos iniciales en

3\ \mu\text{g} = 3\cdot 10^{-6}\ \text{g}

N_0 = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{3\cdot 10^{-6}}{212}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 8{,}52\cdot 10^{15}\ \text{núcleos}

Actividad inicial y al cabo de

t = 1\ \mu\text{s}

A_0 = \lambda N_0 = 2{,}31\cdot 10^{6}\cdot 8{,}52\cdot 10^{15} = 1{,}97\cdot 10^{22}\ \text{Bq}

A = A_0\,e^{-\lambda t} = 1{,}97\cdot 10^{22}\cdot e^{-2{,}31\cdot 10^{6}\cdot 10^{-6}} = 1{,}97\cdot 10^{22}\cdot 0{,}0992 = 1{,}95\cdot 10^{21}\ \text{Bq}

(Lo mismo con periodos:

t/T_{1/2} = 10/3

2^{-10/3} = 0{,}0992

.)

b) Energía cinética en julios y energía en reposo de la partícula

\alpha

E_c = 9\cdot 10^{6}\ \text{eV}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J/eV} = 1{,}44\cdot 10^{-12}\ \text{J}

m_\alpha c^2 = 6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 5{,}976\cdot 10^{-10}\ \text{J}

La energía total es la de reposo más la cinética,

\gamma\,m_\alpha c^2 = m_\alpha c^2 + E_c

\gamma = 1 + \frac{E_c}{m_\alpha c^2} = 1 + \frac{1{,}44\cdot 10^{-12}}{5{,}976\cdot 10^{-10}} = 1{,}00241

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\ \Rightarrow\ \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{1{,}00241^2}} = 0{,}0693

v = 0{,}0693\cdot 3\cdot 10^{8} = 2{,}08\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Es menos del 7 % de

c

: la corrección relativista es pequeña (con

\tfrac12 m v^2

saldría

2{,}08\cdot 10^{7}\ \text{m/s}

también, con diferencias en la cuarta cifra).

Consejo

Convierte el tiempo y el periodo a la misma unidad antes de calcular $\lambda t$ : aquí $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ y $t$ en segundos ( $1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$ ). El producto $\lambda t$ no tiene unidades.

En relatividad, la energía cinética no es $\tfrac12 m v^2$ sino $(\gamma - 1)\,mc^2$ . Si el enunciado pide tratar la partícula como relativista, usa esta y despeja $\gamma$ primero.