Campo y potencial eléctrico

a) Para que el campo en $P(10, 10)\ \text{cm}$ no tenga componente $x$, el punto medio de las cargas debe estar en la vertical de $P$, es decir, en $x = 10\ \text{cm}$. Separadas $40\ \text{cm}$, cada una está a $20\ \text{cm}$ de ese punto:$$q_1\ \text{en}\ (-10, 0)\ \text{cm}\qquad q_2\ \text{en}\ (30, 0)\ \text{cm}$$Distancia de cada carga a $P$ y ángulo con la horizontal:$$d = \sqrt{0{,}20^2 + 0{,}10^2} = \sqrt{0{,}05} = 0{,}2236\ \text{m}\qquad \text{sen}\,\theta = \frac{0{,}10}{0{,}2236} = \frac{1}{\sqrt5} = 0{,}447$$Cada carga crea en $P$ un campo de módulo $K|q|/d^2$ cuya componente vertical es $K|q|\,\text{sen}\,\theta/d^2$. Las dos componentes verticales son iguales y se suman:$$|E_P| = 2\,\frac{K|q|}{d^2}\,\text{sen}\,\theta\ \Rightarrow\ |q| = \frac{|E_P|\,d^2}{2K\,\text{sen}\,\theta} = \frac{805\cdot 0{,}05}{2\cdot 9\cdot 10^{9}\cdot 0{,}447} = 5{,}00\cdot 10^{-9}\ \text{C}$$El campo apunta hacia $-y$, hacia el eje $x$ donde están las cargas: el campo de una carga negativa apunta hacia ella. Por tanto:$$q = -5{,}00\cdot 10^{-9}\ \text{C} = -5\ \text{nC}$$b) El origen está a $d_1 = 0{,}10\ \text{m}$ de $q_1$ (a su derecha) y a $d_2 = 0{,}30\ \text{m}$ de $q_2$ (a su izquierda). Los dos campos son horizontales y apuntan hacia su carga:$$\vec E_1 = -\frac{K|q|}{d_1^2}\,\vec i = -\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 5\cdot 10^{-9}}{0{,}10^2}\,\vec i = -4500\,\vec i\ \ \text{V/m}$$$$\vec E_2 = +\frac{K|q|}{d_2^2}\,\vec i = \frac{45}{0{,}30^2}\,\vec i = +500\,\vec i\ \ \text{V/m}$$$$\vec E_O = \vec E_1 + \vec E_2 = -4000\,\vec i\ \ \text{V/m} = -4{,}0\cdot 10^{3}\,\vec i\ \ \text{V}\,\text{m}^{-1}$$El potencial es la suma de escalares, con el signo de las cargas:$$V_O = Kq\left(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}\right) = 9\cdot 10^{9}\cdot(-5\cdot 10^{-9})\left(\frac{1}{0{,}10} + \frac{1}{0{,}30}\right) = -45\cdot 13{,}33 = -600\ \text{V}$$