FísicaMedio2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una onda transversal armónica unidimensional, que se propaga en sentido positivo del eje

x

con una velocidad de

3{,}5\ \text{km}\,\text{s}^{-1}

, posee una frecuencia de

25\ \text{Hz}

y una amplitud de

21{,}2\ \text{cm}

. En la posición

x = 70\ \text{m}

y para

t = 30\ \text{ms}

, el desplazamiento es de

15\ \text{cm}

y la velocidad de oscilación positiva.

a) Halle el periodo y la longitud de onda de la onda.

b) Escriba la expresión matemática de la onda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;T = 0{,}04\ \text{s}\qquad \lambda = 140\ \text{m}\;}

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}212\,\text{sen}\left(50\pi\,t - \dfrac{\pi}{70}\,x - \dfrac{\pi}{4}\right)\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El periodo es el inverso de la frecuencia y la longitud de onda sale de

v = \lambda f

. Con ellos tenemos

\omega

k

.

Para la ecuación solo falta la fase inicial

\varphi_0

. La condición

y(70\ \text{m}, 30\ \text{ms}) = 15\ \text{cm}

da dos posibles valores de la fase (el seno toma el mismo valor en dos ángulos de cada vuelta); el signo de la velocidad de oscilación decide cuál es el bueno.

Desarrollo

a) Periodo y longitud de onda, con

v = 3500\ \text{m/s}

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{25} = 0{,}04\ \text{s}\qquad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{3500}{25} = 140\ \text{m}

b) Como se propaga hacia

+x

, la escribimos como

y(x,t) = A\,\text{sen}\,(\omega t - kx + \varphi_0)

con

A = 0{,}212\ \text{m}

\omega = 2\pi f = 50\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{140} = \frac{\pi}{70}\ \text{rad/m}

La fase en

x = 70\ \text{m}

t = 0{,}03\ \text{s}

es:

\omega t - kx + \varphi_0 = 50\pi\cdot 0{,}03 - \frac{\pi}{70}\cdot 70 + \varphi_0 = 1{,}5\pi - \pi + \varphi_0 = \frac{\pi}{2} + \varphi_0

La elongación en ese punto y ese instante es

15\ \text{cm}

\text{sen}\left(\frac{\pi}{2} + \varphi_0\right) = \frac{15}{21{,}2} = 0{,}7075 \approx \frac{\sqrt2}{2}

\frac{\pi}{2} + \varphi_0 = \frac{\pi}{4}\quad\text{o}\quad \frac{\pi}{2} + \varphi_0 = \frac{3\pi}{4}

La velocidad de oscilación es la derivada respecto del tiempo:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

Tiene que ser positiva, así que el coseno de la fase debe ser positivo: la fase buena es

\pi/4

(

\cos\frac{3\pi}{4} < 0

). Por tanto:

\frac{\pi}{2} + \varphi_0 = \frac{\pi}{4}\ \Rightarrow\ \varphi_0 = -\frac{\pi}{4}\ \text{rad}

y(x,t) = 0{,}212\,\text{sen}\left(50\pi\,t - \frac{\pi}{70}\,x - \frac{\pi}{4}\right)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una sola condición de elongación no basta para fijar la fase: el arcoseno da dos ángulos por vuelta ( $\theta$ y $\pi - \theta$ ). El dato del signo de la velocidad (o de si el punto sube o baja) es el que elige uno. Si el enunciado lo da, es porque hace falta.

Si escribes la onda con coseno, la fase cambia en $\pi/2$ : $y = 0{,}212\cos\left(50\pi t - \frac{\pi}{70}x - \frac{3\pi}{4}\right)\ \text{m}$ . Las dos respuestas son equivalentes.