Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Energía mecánica en el afelio ($r_A = 5{,}26\cdot 10^{12}\ \text{m}$, $v_A = 900\ \text{m/s}$):$$E_c = \tfrac12\,m\,v_A^2 = \tfrac12\cdot 2{,}2\cdot 10^{14}\cdot 900^2 = 8{,}91\cdot 10^{19}\ \text{J}$$$$E_p = -\frac{G M_S m}{r_A} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{30}\cdot 2{,}2\cdot 10^{14}}{5{,}26\cdot 10^{12}} = -5{,}55\cdot 10^{21}\ \text{J}$$$$E = E_c + E_p = 8{,}91\cdot 10^{19} - 5{,}552\cdot 10^{21} = -5{,}46\cdot 10^{21}\ \text{J}$$Es negativa, como corresponde a una órbita ligada. Se conserva, así que es la energía del cometa en cualquier punto de su órbita.

Momento angular: en el afelio $\vec r \perp \vec v$, luego$$L = m\,r_A\,v_A = 2{,}2\cdot 10^{14}\cdot 5{,}26\cdot 10^{12}\cdot 900 = 1{,}04\cdot 10^{30}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}$$Su dirección es perpendicular al plano de la órbita y no cambia: la fuerza gravitatoria es central.

b) Tercera ley de Kepler, con el periodo en segundos (año de 365 días): $T = 75{,}571\cdot 365\cdot 86400 = 2{,}383\cdot 10^{9}\ \text{s}$.$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_S}\,a^3 \ \Rightarrow\ a = \sqrt[3]{\frac{G M_S\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{30}\cdot (2{,}383\cdot 10^{9})^2}{4\pi^2}} = 2{,}67\cdot 10^{12}\ \text{m}$$Lo comprobamos con la energía de una órbita elíptica:$$E = -\frac{G M_S m}{2a}\ \Rightarrow\ a = \frac{G M_S m}{2|E|} = \frac{2{,}920\cdot 10^{34}}{2\cdot 5{,}462\cdot 10^{21}} = 2{,}673\cdot 10^{12}\ \text{m}$$Los dos caminos coinciden. El semieje mayor es la semisuma de las distancias al perihelio y al afelio:$$r_P + r_A = 2a\ \Rightarrow\ r_P = 2a - r_A = 2\cdot 2{,}673\cdot 10^{12} - 5{,}26\cdot 10^{12} = 8{,}58\cdot 10^{10}\ \text{m}$$En el perihelio la velocidad también es perpendicular al radio vector. Por la conservación del momento angular:$$m\,r_A\,v_A = m\,r_P\,v_P\ \Rightarrow\ v_P = \frac{r_A\,v_A}{r_P} = \frac{5{,}26\cdot 10^{12}\cdot 900}{8{,}58\cdot 10^{10}} = 5{,}52\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$El cometa va unas 60 veces más deprisa cerca del Sol que en el afelio: la segunda ley de Kepler.