Radiactividad y desintegración

a) De la ley de desintegración, $A = A_0\,e^{-\lambda t}$, despejamos la constante:$$\lambda = \frac{1}{t}\ln\frac{A_0}{A}$$Radioisótopo 1, con $t = 1\ \text{d}$:$$\lambda_1 = \ln\frac{10{,}00}{8{,}90} = 0{,}1165\ \text{d}^{-1}\ \Rightarrow\ T_1 = \frac{\ln 2}{\lambda_1} = \frac{0{,}6931}{0{,}1165} = 5{,}95\ \text{d}$$Radioisótopo 2:$$\lambda_2 = \ln\frac{11{,}70}{10{,}77} = 0{,}0828\ \text{d}^{-1}\ \Rightarrow\ T_2 = \frac{\ln 2}{\lambda_2} = \frac{0{,}6931}{0{,}0828} = 8{,}37\ \text{d}$$En segundos ($1\ \text{d} = 86\,400\ \text{s}$): $T_1 = 5{,}14\cdot 10^{5}\ \text{s}$ y $T_2 = 7{,}23\cdot 10^{5}\ \text{s}$. El 1 se desintegra más deprisa: su actividad cae un 11 % en un día, la del 2 solo un 8 %.

b) La actividad inicial es $A_0 = \lambda N_0$, y el número inicial de núcleos de una masa $m$ de un isótopo de masa atómica $M$ (en g/mol) es $N_0 = \dfrac{m}{M}\,N_A$. Por tanto:$$A_{0} = \lambda\,\frac{m\,N_A}{M}$$Dividimos las expresiones de las dos muestras; como $m_1 = m_2$, se simplifican $m$ y $N_A$:$$\frac{A_{0,2}}{A_{0,1}} = \frac{\lambda_2/M_2}{\lambda_1/M_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot\frac{M_1}{M_2}\ \Rightarrow\ \frac{M_2}{M_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot\frac{A_{0,1}}{A_{0,2}}$$Sustituimos (las unidades de $\lambda$ y de la actividad se cancelan, así que no hace falta pasarlas al SI):$$\frac{M_2}{M_1} = \frac{0{,}0828}{0{,}1165}\cdot\frac{10{,}00}{11{,}70} = 0{,}711\cdot 0{,}855 = 0{,}607$$Tiene sentido: el isótopo 2 se desintegra más despacio y aun así tiene más actividad inicial, así que la misma masa debe contener más núcleos suyos; es decir, sus átomos son más ligeros.