Campo magnético creado por corrientes

a) Llamamos $I_1$ a la corriente del hilo del eje $z$ (en $x = 0$) e $I_2$ a la del hilo que pasa por $x = 5\ \text{cm}$. La separación entre ellos es $d = 0{,}05\ \text{m}$.

Los hilos se repelen, así que las corrientes son antiparalelas (sentidos opuestos). Con corrientes opuestas, entre los hilos los dos campos apuntan en el mismo sentido y se suman; fuera, apuntan en sentidos opuestos y pueden anularse, cerca del hilo de menor corriente. La recta $x = 10\ \text{cm}$ está fuera, más cerca del hilo 2: todo encaja.

En $x = 10\ \text{cm}$ las distancias a los hilos son $r_1 = 0{,}10\ \text{m}$ y $r_2 = 0{,}05\ \text{m}$. Igualamos los módulos de los campos $B = \mu_0 I/(2\pi r)$:$$\frac{\mu_0 I_1}{2\pi\cdot 0{,}10} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi\cdot 0{,}05}\ \Rightarrow\ I_1 = 2\,I_2$$La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos es:$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\, I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{\mu_0\cdot 2 I_2^2}{2\pi d}$$Despejamos $I_2$:$$I_2^2 = \frac{(F/L)\,2\pi d}{2\mu_0} = \frac{5\cdot 10^{-5}\cdot 2\pi\cdot 0{,}05}{2\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}} = 6{,}25\ \text{A}^2\ \Rightarrow\ I_2 = 2{,}5\ \text{A}$$$$I_1 = 2\,I_2 = 5\ \text{A}$$b) El punto $(-5, 0, 0)\ \text{cm}$ también está fuera del espacio entre los hilos, al otro lado: dista $r_1 = 0{,}05\ \text{m}$ del hilo 1 y $r_2 = 0{,}10\ \text{m}$ del hilo 2. Los módulos de los campos son:$$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5}{2\pi\cdot 0{,}05} = 2{,}0\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$$$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2{,}5}{2\pi\cdot 0{,}10} = 5{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{T}$$Fuera de los hilos y con corrientes opuestas, los dos campos tienen sentidos contrarios (los dos son paralelos al eje $y$). Por ejemplo, si $I_1$ va hacia $+z$, la regla de la mano derecha da $\vec B_1 = -2{,}0\cdot 10^{-5}\,\vec j\ \text{T}$ y $\vec B_2 = +5{,}0\cdot 10^{-6}\,\vec j\ \text{T}$. Restamos:$$B = B_1 - B_2 = 2{,}0\cdot 10^{-5} - 5{,}0\cdot 10^{-6} = 1{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$Domina el hilo 1: tiene el doble de corriente y está a la mitad de distancia. (Con $I_1$ hacia $+z$, el campo total es $-1{,}5\cdot 10^{-5}\,\vec j\ \text{T}$; si las corrientes se invierten, cambia el sentido pero no el módulo.)