Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Número de onda:$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi\ \text{rad/m} \approx 15{,}7\ \text{rad/m}$$Frecuencia, a partir de la velocidad de propagación:$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{200}{0{,}4} = 500\ \text{Hz}$$Con ella, la frecuencia angular es $\omega = 2\pi f = 1000\pi\ \text{rad/s}$ (periodo $T = 2\cdot 10^{-3}\ \text{s}$).

b) Como la onda avanza en el sentido positivo del eje, la escribimos con el signo menos entre los términos en $t$ y en $x$:$$y(x,t) = A\sin\left(1000\pi\, t - 5\pi\, x + \varphi_0\right)$$La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda es la derivada respecto del tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos\left(\omega t - kx + \varphi_0\right),\qquad v_{y,\text{máx}} = A\,\omega$$En $x = 0$, $t = 0$ la velocidad es positiva e igual a la mitad de la máxima:$$A\,\omega\cos\varphi_0 = \frac{A\,\omega}{2}\ \Rightarrow\ \cos\varphi_0 = \frac12\ \Rightarrow\ \varphi_0 = \frac{\pi}{3}\ \ \text{o}\ \ \varphi_0 = -\frac{\pi}{3}$$La elongación en ese instante también es positiva, $y(0,0) = A\sin\varphi_0 > 0$, lo que exige $\sin\varphi_0 > 0$. Solo vale la primera:$$\varphi_0 = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}$$Así, la onda queda $y(x,t) = A\sin\left(1000\pi\, t - 5\pi\, x + \dfrac{\pi}{3}\right)$, con $A$ en metros (el enunciado no da la amplitud). Comprobación: $\sin(\pi/3) = 0{,}87 > 0$ y $\cos(\pi/3) = 0{,}5$, justo la mitad.

En la simulación (la amplitud de 1 cm es inventada, porque el enunciado no la da) puedes ver el punto del origen en $t = 0$ subiendo desde una elongación positiva: