FísicaDifícil2 pts

Campo magnético creado por corrientes

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz
Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Por un hilo rectilíneo infinito situado sobre el eje zz circula una corriente I1=3 AI_1 = 3\,\text{A} según el sentido positivo de dicho eje. Por el punto (3, 0, 0) m(3,\,0,\,0)\,\text{m} pasa un segundo hilo paralelo al primero y por el que circula una corriente I2I_2 desconocida.

a) Obtenga el valor de la intensidad de la segunda corriente sabiendo que el campo magnético generado por ambas corrientes en el punto (3, 4, 0) m(3,\,4,\,0)\,\text{m} solo tiene componente yy.

b) Determine la velocidad que lleva un electrón si al pasar por el punto (3, 4, 0) m(3,\,4,\,0)\,\text{m} experimenta una fuerza 1,08⋅10−21 i⃗ N1{,}08\cdot 10^{-21}\,\vec i\ \text{N}.

Datos: Permeabilidad magnética del vacío, μ0=4π⋅10−7 T m A−1\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}.
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Resultado
  I2=1,92 A en sentido −zB⃗(3,4,0)=7,2⋅10−8 j⃗ T  \boxed{\;I_2 = 1{,}92\ \text{A}\ \text{en sentido } -z\qquad \vec B(3,4,0) = 7{,}2\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \text{T}\;}  v⃗=9,38⋅104 k⃗ m s−1  \boxed{\;\vec v = 9{,}38\cdot 10^{4}\,\vec k\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}
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Estrategia

Un hilo infinito crea un campo de módulo B=μ0I/(2πd)B = \mu_0 I/(2\pi d), tangente a las circunferencias centradas en el hilo, con el sentido de la regla de la mano derecha. Vectorialmente, para un hilo paralelo a zz con la corriente hacia +z+z: B⃗=μ0I2πd k⃗×u⃗r\vec B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\vec k\times\vec u_r, con u⃗r\vec u_r el vector unitario del hilo al punto en el plano xyxy.

El punto P(3, 4, 0)P(3,\,4,\,0) está a 5 m5\,\text{m} del primer hilo y a 4 m4\,\text{m} del segundo, justo encima de él. El campo del primero tiene componente xx y componente yy; el del segundo, en PP, solo componente xx. La condición «solo componente yy» exige que el segundo anule la xx del primero: eso da el valor y el sentido de I2I_2.

En b), con B⃗\vec B conocido, la fuerza de Lorentz F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B (con q=−eq = -e) dice qué velocidad hace falta.
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Desarrollo

a) Hilo 1. Del eje zz a PP: u⃗r1=(3, 4)/5=(0,6, 0,8)\vec u_{r1} = (3,\,4)/5 = (0{,}6,\,0{,}8), d1=5 md_1 = 5\,\text{m}:B1=μ0I12πd1=4π⋅10−7⋅32π⋅5=1,2⋅10−7 TB_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 3}{2\pi\cdot 5} = 1{,}2\cdot 10^{-7}\ \text{T}k⃗×(0,6 i⃗+0,8 j⃗)=0,6 j⃗−0,8 i⃗⟹B⃗1=(−9,6⋅10−8 i⃗+7,2⋅10−8 j⃗) T\vec k\times(0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j) = 0{,}6\,\vec j - 0{,}8\,\vec i\quad\Longrightarrow\quad \vec B_1 = (-9{,}6\cdot 10^{-8}\,\vec i + 7{,}2\cdot 10^{-8}\,\vec j)\ \text{T}Hilo 2. De (3, 0)(3,\,0) a PP: u⃗r2=j⃗\vec u_{r2} = \vec j, d2=4 md_2 = 4\,\text{m}. Si I2I_2 fuera hacia +z+z, su campo en PP iría según k⃗×j⃗=−i⃗\vec k\times\vec j = -\vec i, en el mismo sentido que la componente xx del primero: no la anularía. Por tanto, I2I_2 circula hacia −z-z, y su campo en PP va según +i⃗+\vec i:B⃗2=+μ0I22πd2 i⃗\vec B_2 = +\frac{\mu_0 I_2}{2\pi d_2}\,\vec iPara que la componente xx total se anule:μ0I22π⋅4=9,6⋅10−8⟹I2=9,6⋅10−8⋅2π⋅44π⋅10−7=1,92 A\frac{\mu_0 I_2}{2\pi\cdot 4} = 9{,}6\cdot 10^{-8}\quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{9{,}6\cdot 10^{-8}\cdot 2\pi\cdot 4}{4\pi\cdot 10^{-7}} = 1{,}92\ \text{A}La segunda corriente vale 1,92 A1{,}92\,\text{A} y circula en sentido contrario a la primera (−z-z). El campo total en PP es:B⃗=7,2⋅10−8 j⃗ T\vec B = 7{,}2\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \text{T}b) Fuerza de Lorentz sobre el electrón (q=−eq = -e) con B⃗=B j⃗\vec B = B\,\vec j y v⃗=(vx, vy, vz)\vec v = (v_x,\,v_y,\,v_z):v⃗×B⃗=B (vx i⃗+vy j⃗+vz k⃗)×j⃗=B (vx k⃗−vz i⃗)\vec v\times\vec B = B\,(v_x\,\vec i + v_y\,\vec j + v_z\,\vec k)\times\vec j = B\,(v_x\,\vec k - v_z\,\vec i)F⃗=−e v⃗×B⃗=e B vz i⃗−e B vx k⃗\vec F = -e\,\vec v\times\vec B = e\,B\,v_z\,\vec i - e\,B\,v_x\,\vec kLa fuerza solo tiene componente xx, así que vx=0v_x = 0, ye B vz=1,08⋅10−21⟹vz=1,08⋅10−211,6⋅10−19⋅7,2⋅10−8=9,38⋅104 m s−1e\,B\,v_z = 1{,}08\cdot 10^{-21}\quad\Longrightarrow\quad v_z = \frac{1{,}08\cdot 10^{-21}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-8}} = 9{,}38\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}El electrón se mueve paralelo a los hilos, hacia +z+z: v⃗=9,38⋅104 k⃗ m s−1\vec v = 9{,}38\cdot 10^{4}\,\vec k\ \text{m}\,\text{s}^{-1}. (Una componente vyv_y, paralela a B⃗\vec B, no produciría fuerza y no se puede determinar con estos datos; la respuesta esperada es la velocidad perpendicular al campo.)
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Consejo

Para el sentido del campo de un hilo, usa u⃗I×u⃗r\vec u_I\times\vec u_r (dirección de la corriente por el unitario del hilo al punto): te ahorra dibujar circunferencias y acertar con la mano derecha.

En la fuerza de Lorentz, el electrón lleva carga negativa: la fuerza es contraria a v⃗×B⃗\vec v\times\vec B. Olvidar el signo cambia el sentido de la velocidad.
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