Dos fuentes sonoras A y B de la misma potencia se encuentran separadas 10\,\text{m}. Un observador situado sobre el segmento que une ambas fuentes recibe simultáneamente los sonidos producidos por dichas fuentes con unos niveles de intensidad sonora \beta_A = 20\,\text{dB} y \beta_B = 30\,\text{dB} respectivamente. Calcule: a) La potencia de las fuentes y la distancia del observador a la fuente A. b) La distancia mínima que debe recorrer el observador en dirección perpendicular a la línea que une ambas fuentes para dejar de oír la fuente A. Dato: Intensidad umbral, I_0 = 1\cdot 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}.

FísicaDifícil2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Dos fuentes sonoras A y B de la misma potencia se encuentran separadas

10\,\text{m}

. Un observador situado sobre el segmento que une ambas fuentes recibe simultáneamente los sonidos producidos por dichas fuentes con unos niveles de intensidad sonora

\beta_A = 20\,\text{dB}

\beta_B = 30\,\text{dB}

respectivamente. Calcule:

a) La potencia de las fuentes y la distancia del observador a la fuente A.

b) La distancia mínima que debe recorrer el observador en dirección perpendicular a la línea que une ambas fuentes para dejar de oír la fuente A.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 1\cdot 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;P = 7{,}25\cdot 10^{-8}\ \text{W}\qquad x = 7{,}60\ \text{m}\ \text{de A}\;}

\boxed{\;y_{\text{mín}} = 75{,}6\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada fuente es un foco puntual:

I = P/(4\pi r^2)

. De los niveles sonoros sacamos las dos intensidades que recibe el observador. Como las potencias son iguales, el cociente de intensidades solo depende de las distancias:

I_A/I_B = r_B^2/r_A^2

, con

r_A = x

r_B = 10 - x

. Eso da

x

; con

x

I_A

, la potencia.

En b) «dejar de oír» la fuente A es que su intensidad baje hasta el umbral,

I_0

(

0\,\text{dB}

). Eso fija la distancia a A; como el observador se mueve en perpendicular a la línea AB, esa distancia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo otro cateto es

x

Desarrollo

a) Intensidades en la posición del observador:

I_A = I_0\,10^{\beta_A/10} = 10^{-12}\cdot 10^{2} = 1{,}0\cdot 10^{-10}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad I_B = 10^{-12}\cdot 10^{3} = 1{,}0\cdot 10^{-9}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Con la misma potencia

P

, y llamando

x

a la distancia a A:

\frac{I_A}{I_B} = \frac{P/(4\pi x^2)}{P/(4\pi\,(10 - x)^2)} = \frac{(10 - x)^2}{x^2} = \frac{1}{10}\quad\Longrightarrow\quad \frac{10 - x}{x} = \frac{1}{\sqrt{10}}

(raíz positiva: entre las fuentes,

x

10 - x

son positivas). Despejando:

x = \frac{10}{1 + 1/\sqrt{10}} = \frac{10}{1{,}316} = 7{,}60\ \text{m}

El observador está más lejos de A, que es la que oye más débil: tiene sentido. La potencia:

P = I_A\cdot 4\pi x^2 = 1{,}0\cdot 10^{-10}\cdot 4\pi\,(7{,}60)^2 = 7{,}25\cdot 10^{-8}\ \text{W}

(Con B sale lo mismo:

1{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 4\pi\,(2{,}40)^2 = 7{,}25\cdot 10^{-8}\,\text{W}

.)

b) Distancia a A a la que su intensidad baja al umbral:

I_0 = \frac{P}{4\pi d^2}\quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_0}} = \sqrt{\frac{7{,}25\cdot 10^{-8}}{4\pi\cdot 10^{-12}}} = 76{,}0\ \text{m}

El observador parte a

x = 7{,}60\,\text{m}

de A y se aleja en perpendicular a la línea AB una distancia

y

. Por Pitágoras, su distancia a A es

\sqrt{x^2 + y^2}

, que debe llegar a

d

y = \sqrt{d^2 - x^2} = \sqrt{76{,}0^2 - 7{,}60^2} = 75{,}6\ \text{m}

Consejo

Si dos fuentes tienen la misma potencia, el cociente de intensidades depende solo de las distancias (al cuadrado): $10\,\text{dB}$ de diferencia son un factor $10$ en intensidad y un factor $\sqrt{10}$ en distancia.

«Dejar de oír» significa llegar a la intensidad umbral, $\beta = 0\,\text{dB}$ . Y la distancia que se recorre en perpendicular no es la distancia a la fuente: es un cateto.