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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Uno de los proyectos más ambiciosos de Elon Musk es Starlink, una red de satélites diseñada para proporcionar acceso a Internet de alta velocidad en todo el mundo. Cada uno de estos satélites tiene una masa de 250 kg250\,\text{kg} y orbita a una altura de 1200 km1200\,\text{km} sobre la superficie de la Tierra. Si suponemos que las órbitas descritas por estos satélites son circulares, calcule:

a) La fuerza que actúa sobre cada uno de los satélites y la distancia que recorre cada día.

b) La energía que se le debería suministrar a uno de estos satélites para que orbite en una órbita circular de altura doble que la anterior.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\,\text{m}.
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Resultado
  F=1,74⋅103 N (hacia el centro de la Tierra)s=6,27⋅108 m  \boxed{\;F = 1{,}74\cdot 10^{3}\ \text{N}\ \text{(hacia el centro de la Tierra)}\qquad s = 6{,}27\cdot 10^{8}\ \text{m}\;}  ΔE=9,00⋅108 J  \boxed{\;\Delta E = 9{,}00\cdot 10^{8}\ \text{J}\;}
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Estrategia

La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, F=GMTm/r2F = G M_T m/r^2, con r=RT+hr = R_T + h medido desde el centro de la Tierra. Esa fuerza es la centrípeta de la órbita circular, de donde sale la velocidad orbital v=GMT/rv = \sqrt{G M_T/r}; la distancia recorrida en un día es vv por los segundos de un día.

En b) comparamos las energías mecánicas de las dos órbitas circulares, Em=−GMTm/(2r)E_m = -G M_T m/(2r). La energía que hay que suministrar es la diferencia: la de la órbita alta es menos negativa.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita:r=RT+h=6,37⋅106+1,20⋅106=7,57⋅106 mr = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}20\cdot 10^{6} = 7{,}57\cdot 10^{6}\ \text{m}Fuerza gravitatoria, dirigida hacia el centro de la Tierra:F=GMTmr2=6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅250(7,57⋅106)2=1,74⋅103 NF = \frac{G M_T m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 250}{(7{,}57\cdot 10^{6})^2} = 1{,}74\cdot 10^{3}\ \text{N}Esa fuerza es la centrípeta: GMTm/r2=mv2/rG M_T m/r^2 = m v^2/r, y la velocidad orbital esv=GMTr=6,67⋅10−11⋅5,97⋅10247,57⋅106=7,25⋅103 m s−1v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{7{,}57\cdot 10^{6}}} = 7{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Distancia recorrida en un día (86 400 s86\,400\,\text{s}):s=v t=7,25⋅103⋅86 400=6,27⋅108 ms = v\,t = 7{,}25\cdot 10^{3}\cdot 86\,400 = 6{,}27\cdot 10^{8}\ \text{m}Son unas 1313 vueltas a la Tierra al día: el periodo de la órbita es 2πr/v=1,82 h2\pi r/v = 1{,}82\,\text{h}.

b) La nueva altura es h′=2400 kmh' = 2400\,\text{km}, así que r′=6,37⋅106+2,40⋅106=8,77⋅106 mr' = 6{,}37\cdot 10^{6} + 2{,}40\cdot 10^{6} = 8{,}77\cdot 10^{6}\,\text{m}. Energías mecánicas de las dos órbitas circulares:Em=−GMTm2r=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅2502⋅7,57⋅106=−6,58⋅109 JE_m = -\frac{G M_T m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 250}{2\cdot 7{,}57\cdot 10^{6}} = -6{,}58\cdot 10^{9}\ \text{J}Em′=−GMTm2r′=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅2502⋅8,77⋅106=−5,68⋅109 JE_m' = -\frac{G M_T m}{2r'} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 250}{2\cdot 8{,}77\cdot 10^{6}} = -5{,}68\cdot 10^{9}\ \text{J}ΔE=Em′−Em=−5,68⋅109−(−6,58⋅109)=9,00⋅108 J\Delta E = E_m' - E_m = -5{,}68\cdot 10^{9} - (-6{,}58\cdot 10^{9}) = 9{,}00\cdot 10^{8}\ \text{J}Hay que suministrar 9,00⋅108 J9{,}00\cdot 10^{8}\,\text{J}. Ojo: en la órbita más alta el satélite va más despacio (6,74⋅103 m s−16{,}74\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}); la energía potencial aumenta el doble de lo aportado (1,80⋅109 J1{,}80\cdot 10^{9}\,\text{J}) y la cinética disminuye en 9,00⋅108 J9{,}00\cdot 10^{8}\,\text{J}.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

«Altura doble» es h′=2h=2400 kmh' = 2h = 2400\,\text{km} sobre la superficie; el radio de la órbita no se duplica, porque hay que sumarle el radio terrestre.

En una órbita circular, Em=−GMm/(2r)E_m = -G M m/(2r): es la mitad de la energía potencial. Subir de órbita cuesta energía aunque el satélite acabe yendo más despacio.
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