FísicaMedio2 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sobre una superficie de aluminio incide radiación electromagnética de longitud de onda

200\,\text{nm}

. Si el trabajo de extracción del aluminio es

4{,}2\,\text{eV}

,

a) Calcule la energía cinética máxima de los electrones emitidos debido al efecto fotoeléctrico y el potencial de frenado del aluminio para esta longitud de onda.

b) Uno de estos electrones emitido con energía cinética máxima es acelerado posteriormente mediante una diferencia de potencial de

20\,\text{V}

. Calcule la longitud de onda de de Broglie asociada a dicho electrón.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Masa en reposo del electrón,

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

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Resultado

\boxed{\;E_{c,\text{máx}} = 3{,}23\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 2{,}02\ \text{eV}\qquad V_0 = 2{,}02\ \text{V}\;}

\boxed{\;\lambda_{dB} = 2{,}62\cdot 10^{-10}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: cada fotón cede su energía

hc/\lambda

a un electrón, que gasta el trabajo de extracción en salir y se queda el resto como energía cinética:

E_{c,\text{máx}} = hc/\lambda - W_0

. El potencial de frenado es el que justo detiene a esos electrones:

e\,V_0 = E_{c,\text{máx}}

. Conviene trabajar en julios (o todo en electronvoltios).

En b) la diferencia de potencial añade

e\,\Delta V

a la energía cinética. Con la energía total calculamos el momento lineal,

p = \sqrt{2 m E_c}

(el electrón no es relativista), y la longitud de onda de de Broglie,

\lambda = h/p

Desarrollo

a) Energía de cada fotón:

E_f = \frac{h\,c}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{200\cdot 10^{-9}} = 9{,}95\cdot 10^{-19}\ \text{J}\quad(6{,}22\ \text{eV})

Trabajo de extracción en julios:

W_0 = 4{,}2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 6{,}72\cdot 10^{-19}\ \text{J}

Como

E_f > W_0

, hay emisión. La energía cinética máxima de los electrones:

E_{c,\text{máx}} = E_f - W_0 = 9{,}95\cdot 10^{-19} - 6{,}72\cdot 10^{-19} = 3{,}23\cdot 10^{-19}\ \text{J}\quad(2{,}02\ \text{eV})

Potencial de frenado:

V_0 = \frac{E_{c,\text{máx}}}{e} = \frac{3{,}23\cdot 10^{-19}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 2{,}02\ \text{V}

b) Al atravesar la diferencia de potencial de

20\,\text{V}

, el campo eléctrico realiza sobre el electrón un trabajo

e\,\Delta V

, que se suma a su energía cinética:

E_c = E_{c,\text{máx}} + e\,\Delta V = 3{,}23\cdot 10^{-19} + 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 20 = 3{,}52\cdot 10^{-18}\ \text{J}\quad(22{,}0\ \text{eV})

Momento lineal (la velocidad,

v = \sqrt{2E_c/m_e} = 2{,}78\cdot 10^{6}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

, es menos del

1\,\%

c

: vale la expresión clásica):

p = \sqrt{2\,m_e\,E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 3{,}52\cdot 10^{-18}} = 2{,}53\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Longitud de onda de de Broglie:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{2{,}53\cdot 10^{-24}} = 2{,}62\cdot 10^{-10}\ \text{m}

Unas dos veces y media el tamaño de un átomo: por eso los electrones de estas energías se difractan en los cristales.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No mezcles unidades: o todo en julios o todo en electronvoltios. En eV el potencial de frenado sale directo: una energía de $2{,}02\,\text{eV}$ se frena con $2{,}02\,\text{V}$ .

Para de Broglie hace falta el momento, no la energía: $p = \sqrt{2 m E_c}$ . Y la energía que cuenta es la total tras la aceleración ( $2{,}02 + 20\,\text{eV}$ ), no solo la de los $20\,\text{V}$ .