FísicaMedio2 pts

Óptica geométrica: lentes y espejos

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Un objeto de

10\,\text{cm}

de altura se sitúa

25\,\text{cm}

a la izquierda de un espejo cóncavo de un metro de radio de curvatura.

a) Determine la posición y tamaño de la imagen.

b) Si se quisiese proyectar la imagen del objeto sobre una pantalla situada a

4\,\text{m}

a la izquierda del espejo, ¿dónde deberíamos situar dicho objeto? Realice el correspondiente trazado de rayos.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ s' = +50\ \text{cm}\ \text{(detrás del espejo)}\qquad y' = 20\ \text{cm}\ \text{(virtual y derecha)}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ s = -57{,}1\ \text{cm}\qquad y' = -70\ \text{cm}\ \text{(real e invertida)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Usamos el convenio de signos habitual (normas DIN): la luz llega desde la izquierda, las distancias se miden desde el espejo y son negativas a su izquierda. En un espejo cóncavo el centro de curvatura y el foco están delante (a la izquierda):

R = -100\,\text{cm}

f = R/2 = -50\,\text{cm}

.

Las ecuaciones de los espejos son

\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f}\qquad M = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}

En a) el objeto está entre el foco y el espejo: esperamos una imagen virtual, derecha y mayor (es el espejo de aumento). En b) una imagen que se recoge en una pantalla es real, y en un espejo las imágenes reales se forman delante, a la izquierda:

s' = -4\,\text{m}

. Despejamos

s

Desarrollo

a) Con

s = -25\,\text{cm}

f = -50\,\text{cm}

\frac{1}{s'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s} = \frac{1}{-50} - \frac{1}{-25} = \frac{-1 + 2}{50} = \frac{1}{50}\quad\Longrightarrow\quad s' = +50\ \text{cm}

M = -\frac{s'}{s} = -\frac{50}{-25} = 2\quad\Longrightarrow\quad y' = M\,y = 2\cdot 10 = 20\ \text{cm}

La imagen está

50\,\text{cm}

detrás del espejo (

s' > 0

), así que es virtual; es derecha (

M > 0

) y el doble de grande:

20\,\text{cm}

.

b) La pantalla está a

4\,\text{m}

a la izquierda:

s' = -4\,\text{m}

, con

f = -0{,}5\,\text{m}

\frac{1}{s} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s'} = \frac{1}{-0{,}5} - \frac{1}{-4} = -2 + 0{,}25 = -1{,}75\ \text{m}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad s = -0{,}571\ \text{m}

Hay que poner el objeto a

57{,}1\,\text{cm}

a la izquierda del espejo, entre el centro de curvatura (

100\,\text{cm}

) y el foco (

50\,\text{cm}

). El aumento:

M = -\frac{s'}{s} = -\frac{-4}{-0{,}571} = -7\quad\Longrightarrow\quad y' = -7\cdot 10 = -70\ \text{cm}

En la pantalla se ve una imagen real, invertida y siete veces mayor.

Trazado de rayos, desde el extremo superior del objeto:

El rayo que llega paralelo al eje se refleja pasando por el foco $F$ .
El rayo que pasa por el foco se refleja paralelo al eje.
El rayo que pasa por el centro de curvatura $C$ incide perpendicular al espejo y vuelve sobre sí mismo.

Los tres reflejados se cortan a

4\,\text{m}

del espejo, por debajo del eje: allí está el extremo de la imagen.

Trazado de rayos en el espejo cóncavo: el objeto está entre C y F. El rayo paralelo al eje se refleja por F; el que pasa por F vuelve paralelo al eje; el que pasa por C vuelve sobre sí mismo. Los tres se cortan sobre la pantalla, a 4 m del espejo, en el extremo de una imagen real e invertida de 70 cm

Consejo

En un espejo cóncavo el foco está delante: con el convenio DIN, $f = R/2 < 0$ . Y fíjate en que la ecuación de los espejos lleva suma ( $1/s' + 1/s$ ), no resta como la de las lentes.

Una imagen que se puede proyectar en una pantalla es siempre real. En un espejo, real significa delante del espejo, del mismo lado que el objeto: $s' < 0$ .