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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Un ion de masa

m

y carga

q

se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de

22\,\text{kV}

y penetra en un campo magnético de

1{,}5\,\text{T}

perpendicular a su trayectoria de manera que el ion describe una trayectoria circular de radio

20\,\text{cm}

. Determine:

a) La relación entre su masa

m

y su carga

q

(

m/q

).

b) La frecuencia de giro del ion cuando está en el seno del campo magnético.

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Resultado

\boxed{\;\frac{m}{q} = 2{,}05\cdot 10^{-6}\ \text{kg}\,\text{C}^{-1}\;}

\boxed{\;f = 1{,}17\cdot 10^{5}\ \text{Hz}\quad(\omega = 7{,}33\cdot 10^{5}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son las dos piezas de un espectrómetro de masas. En la aceleración, la energía potencial eléctrica se convierte en cinética:

qV = \tfrac12 m v^2

. Dentro del campo magnético, la fuerza de Lorentz (

qvB

, perpendicular a la velocidad) es la fuerza centrípeta:

qvB = m v^2/R

.

Son dos ecuaciones con

v

m/q

como incógnitas: eliminamos

v

. Para la frecuencia,

\omega = v/R = qB/m

, que no depende de la velocidad.

Desarrollo

a) Del movimiento circular en el campo:

q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad v = \frac{q\,B\,R}{m}

De la aceleración:

q\,V = \frac{1}{2}m\,v^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{q B R}{m}\right)^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}\quad\Longrightarrow\quad \frac{m}{q} = \frac{B^2 R^2}{2V}

\frac{m}{q} = \frac{1{,}5^2\cdot 0{,}20^2}{2\cdot 22\,000} = \frac{0{,}090}{44\,000} = 2{,}05\cdot 10^{-6}\ \text{kg}\,\text{C}^{-1}

Si el ion tuviera una sola carga elemental, su masa sería

2{,}05\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 3{,}27\cdot 10^{-25}\,\text{kg}

, unas

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unidades de masa atómica: un ion pesado. Su velocidad al entrar en el campo es

v = qBR/m = 1{,}47\cdot 10^{5}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

.

b) Velocidad angular del movimiento circular:

\omega = \frac{v}{R} = \frac{q\,B}{m} = \frac{1{,}5}{2{,}05\cdot 10^{-6}} = 7{,}33\cdot 10^{5}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{7{,}33\cdot 10^{5}}{2\pi} = 1{,}17\cdot 10^{5}\ \text{Hz}

Es la frecuencia de ciclotrón: depende solo de

q/m

y de

B

, no de la velocidad ni del radio.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos tramos (acelerar y girar), escribe una ecuación para cada uno y elimina la velocidad. La relación $m/q = B^2R^2/(2V)$ es la base del espectrómetro de masas.

No confundas $\omega$ con $f$ : la frecuencia en hercios es $\omega/(2\pi)$ . Y pasa el radio a metros y los kilovoltios a voltios antes de sustituir.