FísicaMedio2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje

x

con una velocidad de

20\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. La velocidad máxima de vibración de los puntos del medio por los que se transmite la onda es de

3\,\text{cm}\,\text{s}^{-1}

y se ha comprobado que la oscilación pasa por su punto de equilibrio cada

2\,\text{s}

. Determine:

a) El número de onda y la amplitud de la onda.

b) La expresión matemática que describe el movimiento del punto situado en

x = 0

, sabiendo que en el instante inicial tiene una elongación de

+1\,\text{cm}

y una velocidad de oscilación negativa.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;k = 7{,}85\cdot 10^{-2}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}\qquad A = 1{,}91\cdot 10^{-2}\ \text{m}\;}

\boxed{\;y(0,\,t) = 1{,}91\cdot 10^{-2}\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\,t + 2{,}59\right)\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que distinguir dos velocidades: la de propagación de la onda,

v = \lambda/T

, y la de vibración de cada punto, cuyo máximo es

A\omega

.

Un punto que oscila pasa por la posición de equilibrio dos veces por periodo (una subiendo y otra bajando), así que «cada

2\,\text{s}

» es medio periodo:

T = 4\,\text{s}

. Con

T

y la velocidad de propagación salen

\lambda

k = 2\pi/\lambda

; con

\omega = 2\pi/T

y la velocidad máxima de vibración, la amplitud.

En b) el punto

x = 0

hace un MAS

y(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)

. La elongación inicial da dos posibles fases; la velocidad inicial negativa elige una.

Desarrollo

a) Periodo y frecuencia angular:

\frac{T}{2} = 2\ \text{s}\quad\Longrightarrow\quad T = 4\ \text{s}\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

Longitud de onda y número de onda:

\lambda = v\,T = 20\cdot 4 = 80\ \text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{80} = \frac{\pi}{40} = 7{,}85\cdot 10^{-2}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

La velocidad máxima de vibración es

v_{\text{máx}} = A\,\omega

A = \frac{v_{\text{máx}}}{\omega} = \frac{0{,}03}{\pi/2} = \frac{0{,}06}{\pi} = 1{,}91\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 1{,}91\ \text{cm}

Fíjate en lo distintas que son las dos velocidades: la onda avanza a

20\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

y los puntos del medio vibran, como mucho, a

3\,\text{cm}\,\text{s}^{-1}

.

b) Para el punto

x = 0

y(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)

v(t) = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

. En

t = 0

y(0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}01\ \text{m}\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = \frac{0{,}01}{1{,}91\cdot 10^{-2}} = 0{,}524

Hay dos ángulos con ese seno:

\varphi_0 = 0{,}551\,\text{rad}

\varphi_0 = \pi - 0{,}551 = 2{,}59\,\text{rad}

. La velocidad inicial,

v(0) = A\omega\cos\varphi_0

, tiene que ser negativa, así que

\cos\varphi_0 < 0

\varphi_0 = 2{,}59\ \text{rad}\ (148{,}4^\circ)

y(0,\,t) = 1{,}91\cdot 10^{-2}\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\,t + 2{,}59\right)\ \text{m}\quad (t\ \text{en s})

Con la onda completa, que avanza hacia

+x

, sería

y(x,\,t) = 1{,}91\cdot 10^{-2}\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{40}x + 2{,}59\right)\,\text{m}

. Si se prefiere el coseno, la misma función es

1{,}91\cdot 10^{-2}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t + 1{,}02\right)\,\text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Entre dos pasos consecutivos por el equilibrio transcurre medio periodo, no uno entero. Es el error más fácil de este problema.

Al despejar la fase inicial con un arcoseno salen siempre dos ángulos ( $\varphi$ y $\pi - \varphi$ ). El signo de la velocidad inicial (el del coseno) decide cuál es el bueno.