FísicaDifícil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Un planeta describe una órbita elíptica alrededor de una estrella de masa 2,34⋅1030 kg2{,}34\cdot 10^{30}\,\text{kg}. La distancia mínima entre el planeta y la estrella es de 2,67⋅1011 m2{,}67\cdot 10^{11}\,\text{m} y su periodo de revolución alrededor de la estrella es 7,437{,}43 años. Si la velocidad mínima del planeta en la órbita es 8,61⋅103 m s−18{,}61\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1},

a) Calcule la distancia máxima entre el planeta y la estrella y halle la velocidad máxima del planeta en la órbita.

b) Determine la velocidad del planeta cuando se encuentra a 5⋅1011 m5\cdot 10^{11}\,\text{m} de la estrella.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  rmaˊx=9,35⋅1011 mvmaˊx=3,01⋅104 m s−1  \boxed{\;r_{\text{máx}} = 9{,}35\cdot 10^{11}\ \text{m}\qquad v_{\text{máx}} = 3{,}01\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}  v(5⋅1011 m)=1,91⋅104 m s−1  \boxed{\;v(5\cdot 10^{11}\ \text{m}) = 1{,}91\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}
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Estrategia

En una elipse la tercera ley de Kepler relaciona el periodo con el semieje mayor aa, que es la media de la distancia mínima y la máxima: a=(rmıˊn+rmaˊx)/2a = (r_{\text{mín}} + r_{\text{máx}})/2. Con el periodo sacamos aa y de ahí rmaˊxr_{\text{máx}}.

La velocidad es mínima donde la distancia es máxima (afelio) y máxima donde es mínima (perihelio). En esos dos puntos r⃗⊥v⃗\vec r\perp\vec v y la conservación del momento angular se escribe rmıˊn vmaˊx=rmaˊx vmıˊnr_{\text{mín}}\,v_{\text{máx}} = r_{\text{máx}}\,v_{\text{mín}}.

En b) el punto no es un extremo de la elipse, así que el momento angular no sirve (no conocemos el ángulo); usamos la conservación de la energía mecánica entre el afelio y ese punto. La masa del planeta se cancela.
2

Desarrollo

a) Periodo en segundos (tomando 1 an˜o=365 dıˊas1\,\text{año} = 365\,\text{días}):T=7,43⋅365⋅86 400=2,34⋅108 sT = 7{,}43\cdot 365\cdot 86\,400 = 2{,}34\cdot 10^{8}\ \text{s}Tercera ley de Kepler, con GM=6,67⋅10−11⋅2,34⋅1030=1,561⋅1020 m3 s−2G M = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}34\cdot 10^{30} = 1{,}561\cdot 10^{20}\,\text{m}^3\,\text{s}^{-2}:T2=4π2GM a3⟹a=GM T24π23=1,561⋅1020⋅(2,34⋅108)24π23=6,01⋅1011 mT^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\,a^3\quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt[3]{\frac{G M\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{1{,}561\cdot 10^{20}\cdot(2{,}34\cdot 10^{8})^2}{4\pi^2}} = 6{,}01\cdot 10^{11}\ \text{m}rmaˊx=2a−rmıˊn=2⋅6,01⋅1011−2,67⋅1011=9,35⋅1011 mr_{\text{máx}} = 2a - r_{\text{mín}} = 2\cdot 6{,}01\cdot 10^{11} - 2{,}67\cdot 10^{11} = 9{,}35\cdot 10^{11}\ \text{m}Conservación del momento angular entre perihelio y afelio:rmıˊn m vmaˊx=rmaˊx m vmıˊn⟹vmaˊx=rmaˊx vmıˊnrmıˊn=9,35⋅1011⋅8,61⋅1032,67⋅1011=3,01⋅104 m s−1r_{\text{mín}}\,m\,v_{\text{máx}} = r_{\text{máx}}\,m\,v_{\text{mín}}\quad\Longrightarrow\quad v_{\text{máx}} = \frac{r_{\text{máx}}\,v_{\text{mín}}}{r_{\text{mín}}} = \frac{9{,}35\cdot 10^{11}\cdot 8{,}61\cdot 10^{3}}{2{,}67\cdot 10^{11}} = 3{,}01\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}b) Energía mecánica por unidad de masa en el afelio:Emm=12vmıˊn2−GMrmaˊx=12(8,61⋅103)2−1,561⋅10209,35⋅1011=3,71⋅107−1,67⋅108=−1,30⋅108 J kg−1\frac{E_m}{m} = \frac{1}{2}v_{\text{mín}}^2 - \frac{G M}{r_{\text{máx}}} = \frac{1}{2}(8{,}61\cdot 10^{3})^2 - \frac{1{,}561\cdot 10^{20}}{9{,}35\cdot 10^{11}} = 3{,}71\cdot 10^{7} - 1{,}67\cdot 10^{8} = -1{,}30\cdot 10^{8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}(Coincide con −GM/(2a)-G M/(2a): los datos son coherentes.) Se conserva, así que a r=5⋅1011 mr = 5\cdot 10^{11}\,\text{m}:12v2−GMr=Emm⟹v=2(Emm+GMr)=2(−1,30⋅108+1,561⋅10205⋅1011)\frac{1}{2}v^2 - \frac{G M}{r} = \frac{E_m}{m}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\left(\frac{E_m}{m} + \frac{G M}{r}\right)} = \sqrt{2\left(-1{,}30\cdot 10^{8} + \frac{1{,}561\cdot 10^{20}}{5\cdot 10^{11}}\right)}v=2 (−1,30⋅108+3,12⋅108)=1,91⋅104 m s−1v = \sqrt{2\,(-1{,}30\cdot 10^{8} + 3{,}12\cdot 10^{8})} = 1{,}91\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Está entre vmıˊnv_{\text{mín}} y vmaˊxv_{\text{máx}}, como debe: 5⋅1011 m5\cdot 10^{11}\,\text{m} es una distancia intermedia.
3

Consejo

En una órbita elíptica, la rr de la tercera ley de Kepler es el semieje mayor, a=(rmıˊn+rmaˊx)/2a = (r_{\text{mín}} + r_{\text{máx}})/2; no la distancia mínima ni la máxima.

El momento angular solo se iguala como r vr\,v en los extremos de la elipse. Para cualquier otro punto, conservación de la energía: 12v2−GM/r\tfrac12 v^2 - GM/r es la misma en toda la órbita.
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