FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo magnético creado por corrientes

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio

Enunciado

Dos hilos indefinidos paralelos al eje

z

llevan intensidades iguales

I_1 = I_2 = 2\,\text{A}

y cortan el plano

xy

en los puntos

(0,\,0)\,\text{m}

(4,\,0)\,\text{m}

, respectivamente. Si el primer hilo, el que pasa por el origen, lleva su intensidad en el sentido positivo del eje

z

y el segundo en sentido negativo, determine el campo magnético en los puntos:

a)

A\,(0,\,3)\,\text{m}

.

b)

B\,(2,\,3)\,\text{m}

.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío,

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec B(A) = -8{,}53\cdot 10^{-8}\,\vec i + 6{,}40\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \ \text{T}\;}

\boxed{\;\vec B(B) = 1{,}23\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \ \text{T}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada hilo crea un campo de módulo

B = \mu_0 I/(2\pi r)

, con líneas de campo circulares a su alrededor: en cada punto,

\vec B

es perpendicular al radio que une el hilo con el punto, y su sentido lo da la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente). Una forma cómoda de obtener la dirección es el producto vectorial

\vec u_I\times\vec u_r

, donde

\vec u_I

es el sentido de la corriente y

\vec u_r

el unitario del hilo al punto.

Calculamos el campo de cada hilo en componentes y los sumamos. En b) el punto está a la misma distancia de los dos hilos y la simetría hará que se anulen las componentes

x

Desarrollo

a) Punto

A(0,\,3)

.

Hilo 1 (en el origen, corriente

+\vec k

). Distancia

r_1 = 3\,\text{m}

, unitario del hilo al punto

\vec u_r = \vec j

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 3} = 1{,}33\cdot 10^{-7}\ \text{T}\qquad \vec k\times\vec j = -\vec i

\vec B_1 = -1{,}33\cdot 10^{-7}\,\vec i\ \ \text{T}

Hilo 2 (en

(4,\,0)

, corriente

-\vec k

). El vector del hilo al punto es

(-4,\,3)

, de módulo

r_2 = 5\,\text{m}

, así que

\vec u_r = -0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j

B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 5} = 8{,}0\cdot 10^{-8}\ \text{T}

(-\vec k)\times(-0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j) = 0{,}8\,\vec j + 0{,}6\,\vec i

\vec B_2 = 8{,}0\cdot 10^{-8}\,(0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j) = 4{,}8\cdot 10^{-8}\,\vec i + 6{,}4\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \ \text{T}

Sumamos:

\vec B(A) = (-1{,}33\cdot 10^{-7} + 4{,}8\cdot 10^{-8})\,\vec i + 6{,}4\cdot 10^{-8}\,\vec j = -8{,}53\cdot 10^{-8}\,\vec i + 6{,}40\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \ \text{T}

Su módulo es

|\vec B(A)| = 1{,}07\cdot 10^{-7}\,\text{T}

.

b) Punto

B(2,\,3)

. Está a la misma distancia de los dos hilos:

r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\ \text{m}\qquad B_1 = B_2 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\sqrt{13}} = 1{,}11\cdot 10^{-7}\ \text{T}

Hilo 1:

\vec u_r = (2\,\vec i + 3\,\vec j)/\sqrt{13}

\vec k\times\vec u_r = (-3\,\vec i + 2\,\vec j)/\sqrt{13}

.

Hilo 2:

\vec u_r = (-2\,\vec i + 3\,\vec j)/\sqrt{13}

(-\vec k)\times\vec u_r = (3\,\vec i + 2\,\vec j)/\sqrt{13}

.

Las componentes

x

son opuestas y se anulan; las

y

son iguales y se suman:

\vec B(B) = 2\cdot 1{,}11\cdot 10^{-7}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}\,\vec j = \frac{2\mu_0 I}{2\pi\sqrt{13}}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}\,\vec j = \frac{16\cdot 10^{-7}}{13}\,\vec j = 1{,}23\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \ \text{T}

Tiene sentido: dos corrientes opuestas refuerzan el campo en la zona entre ellas, y el resultado apunta hacia

+y

, como el campo de cada una en el segmento que las une.

Consejo

El campo de un hilo no apunta hacia el hilo ni en la dirección de la línea que lo une al punto: es tangente a la circunferencia, perpendicular a ese radio. Si dudas del sentido, haz $\vec u_I\times\vec u_r$ .

Haz el dibujo con los dos vectores en el punto antes de sumar: la simetría de b) te dice de antemano qué componente se anula y sirve para detectar errores de signo.