FísicaFácilProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio
Enunciado
Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo 99 del tecnecio (99Tc^{99}\text{Tc}) cuyo tiempo de semidesintegración es de 6 h6\,\text{h}. Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de 5⋅108 Bq5\cdot 10^{8}\,\text{Bq}, determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de 1⋅104 Bq1\cdot 10^{4}\,\text{Bq}.

Datos: Masa atómica del 99Tc^{99}\text{Tc}, M99Tc=98,9 uM_{^{99}\text{Tc}} = 98{,}9\,\text{u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}.
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Resultado
  m0=2,56⋅10−9 g=2,56⋅10−12 kg  \boxed{\;m_0 = 2{,}56\cdot 10^{-9}\ \text{g} = 2{,}56\cdot 10^{-12}\ \text{kg}\;}  t=3,37⋅105 s≈3,9 dıˊas  \boxed{\;t = 3{,}37\cdot 10^{5}\ \text{s} \approx 3{,}9\ \text{días}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, A=λNA = \lambda N. Con el periodo de semidesintegración sacamos λ\lambda (en s−1\text{s}^{-1}, porque el becquerel es una desintegración por segundo), de ahí el número de núcleos y, con el número de Avogadro y la masa molar, la masa.

En b) la actividad decae igual que el número de núcleos, A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}: se despeja el tiempo tomando logaritmos.
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Desarrollo

a) Constante de desintegración, con el periodo en segundos (6 h=21600 s6\,\text{h} = 21600\,\text{s}):λ=ln⁡2T1/2=0,69321600=3,21⋅10−5 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{21600} = 3{,}21\cdot 10^{-5}\ \text{s}^{-1}Número de núcleos que dan esa actividad:A0=λN0⟹N0=A0λ=5⋅1083,21⋅10−5=1,56⋅1013 nuˊcleosA_0 = \lambda N_0 \quad\Longrightarrow\quad N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{5\cdot 10^{8}}{3{,}21\cdot 10^{-5}} = 1{,}56\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}Un mol de 99Tc^{99}\text{Tc} son 98,9 g98{,}9\,\text{g} y contiene NAN_A núcleos:m0=N0NA M=1,56⋅10136,02⋅1023⋅98,9=2,56⋅10−9 g=2,56⋅10−12 kgm_0 = \frac{N_0}{N_A}\,M = \frac{1{,}56\cdot 10^{13}}{6{,}02\cdot 10^{23}}\cdot 98{,}9 = 2{,}56\cdot 10^{-9}\ \text{g} = 2{,}56\cdot 10^{-12}\ \text{kg}Una cantidad minúscula: unos pocos nanogramos bastan para una actividad de cientos de millones de desintegraciones por segundo.

b) Ley de desintegración aplicada a la actividad:A=A0 e−λt⟹t=1λln⁡A0A=13,21⋅10−5ln⁡5⋅1081⋅104=10,823,21⋅10−5A = A_0\,e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{A_0}{A} = \frac{1}{3{,}21\cdot 10^{-5}}\ln\frac{5\cdot 10^{8}}{1\cdot 10^{4}} = \frac{10{,}82}{3{,}21\cdot 10^{-5}}t=3,37⋅105 s≈93,7 h≈3,9 dıˊast = 3{,}37\cdot 10^{5}\ \text{s} \approx 93{,}7\ \text{h} \approx 3{,}9\ \text{días}Son unas 15,615{,}6 semividas.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

Si la actividad está en becquerelios, λ\lambda tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}. Con λ\lambda en h−1\text{h}^{-1} el número de núcleos te sale 3600 veces más pequeño.

En b) no hace falta pasar por NN: la actividad sigue la misma exponencial que el número de núcleos, así que puedes trabajar directamente con A/A0A/A_0.
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