FísicaMedioProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio

Enunciado

Dos cristales de grosor

10\,\text{cm}

e índices de refracción

n_1 = 1{,}40

n_2 = 1{,}50

, están separados por una capa de aire de espesor desconocido,

e

. Un rayo de luz incide por el punto A desde el cristal 1 hacia el cristal 2 atravesando la capa de aire que los separa con un ángulo de incidencia de

30^\circ

y saliendo por el punto B tal y como se indica en la figura. Si la distancia horizontal entre los puntos A y B es

d = 9{,}2\,\text{cm}

, determine:

Dos láminas horizontales de 10 cm de grosor: abajo el cristal 1 (n1) y arriba el cristal 2 (n2), separadas por una capa de aire de espesor e, con aire también por encima y por debajo. Un rayo sube por el cristal 1 formando 30° con la normal y llega al punto A, en la cara superior del cristal 1; cruza el aire y el cristal 2 y sale por el punto B, en la cara superior del cristal 2. La distancia horizontal entre A y B es d.

a) El espesor,

e

, de la capa de aire situada entre ambos cristales.

b) El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto A hasta el punto B.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

; Índice de refracción del aire,

n = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;e = 4{,}0\ \text{cm}\;}

\boxed{\;t_{A\to B} = 7{,}52\cdot 10^{-10}\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Seguimos el rayo superficie a superficie con la ley de Snell. En A pasa del cristal 1 al aire (se aleja de la normal) y en la cara inferior del cristal 2 vuelve a entrar en un medio más denso (se acerca a la normal). Con esos dos ángulos, el avance horizontal en cada capa es su espesor por la tangente del ángulo. Sabemos cuánto avanza en el cristal 2 (grosor conocido) y el total

d

, así que lo que falta lo recorre en el aire: de ahí sale

e

.

Para el tiempo, calculamos la longitud del rayo en cada capa (espesor entre coseno del ángulo) y la dividimos por la velocidad de la luz en ese medio,

v = c/n

Desarrollo

a) Ley de Snell en A, del cristal 1 al aire:

n_1\sin 30^\circ = 1\cdot\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = 1{,}40\cdot 0{,}5 = 0{,}70 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 44{,}4^\circ

Ley de Snell en la cara inferior del cristal 2, del aire al cristal:

1\cdot\sin\theta = n_2\sin\theta' \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta' = \frac{0{,}70}{1{,}50} = 0{,}467 \quad\Longrightarrow\quad \theta' = 27{,}8^\circ

Las caras son paralelas, así que las normales son todas verticales. Dentro del cristal 2 el rayo avanza horizontalmente:

d_2 = 10\tan\theta' = 10\tan 27{,}8^\circ = 5{,}28\ \text{cm}

El resto de los

9{,}2\,\text{cm}

los avanza en la capa de aire:

d_{\text{aire}} = d - d_2 = 9{,}2 - 5{,}28 = 3{,}92\ \text{cm} = e\tan\theta

e = \frac{3{,}92}{\tan 44{,}4^\circ} = \frac{3{,}92}{0{,}980} = 4{,}0\ \text{cm}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Longitud del camino en cada medio (espesor entre el coseno del ángulo con la normal):

s_{\text{aire}} = \frac{e}{\cos\theta} = \frac{4{,}0}{\cos 44{,}4^\circ} = 5{,}61\ \text{cm}\qquad s_2 = \frac{10}{\cos\theta'} = \frac{10}{\cos 27{,}8^\circ} = 11{,}31\ \text{cm}

En el aire la luz va a

c

; en el cristal 2, a

v_2 = c/n_2 = 2\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. Pasando a metros:

t_{\text{aire}} = \frac{5{,}61\cdot 10^{-2}}{3\cdot 10^{8}} = 1{,}87\cdot 10^{-10}\ \text{s}\qquad t_2 = \frac{11{,}31\cdot 10^{-2}}{2\cdot 10^{8}} = 5{,}65\cdot 10^{-10}\ \text{s}

t = t_{\text{aire}} + t_2 = 7{,}52\cdot 10^{-10}\ \text{s}

Consejo

Dibuja la normal en cada superficie y marca el ángulo con la normal, no con la cara. Con caras paralelas el ángulo de refracción de una superficie es el de incidencia de la siguiente.

Para el tiempo no uses la distancia horizontal $d$ : el rayo recorre la hipotenusa, $\text{espesor}/\cos\theta$ , y en el cristal va más despacio ( $v = c/n$ ).