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Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Desde la superficie terrestre se lanza un satélite hasta situarlo en una órbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a las 7/6 partes del radio terrestre.

a) (1 punto) Calcula, con los datos del problema, la intensidad del campo gravitatorio terrestre en la órbita del satélite.

b) (1 punto) Halla el peso de una astronauta de masa 68 kg que se situase allí.

Datos: Constante de gravitación universal:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

. Radio de la Tierra:

R = 6370\ \text{km}

. Valor del campo gravitatorio en la superficie terrestre:

g = 9{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g = 7{,}2\ \text{m/s}^2\ \ \text{(hacia el centro de la Tierra)}\;}

\boxed{\;P = 490\ \text{N}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No nos dan la masa de la Tierra, pero no hace falta: el campo gravitatorio disminuye con el cuadrado de la distancia al centro, así que basta comparar con su valor en la superficie,

g_0 = GM/R^2

. Dividiendo las dos expresiones,

G

M

se cancelan. El peso es la masa por el campo en ese punto.

Desarrollo

a) El campo gravitatorio a una distancia

r

del centro de la Tierra y en la superficie son:

g = \frac{G M}{r^2}\qquad g_0 = \frac{G M}{R^2}

Dividiendo:

\frac{g}{g_0} = \frac{R^2}{r^2} = \left(\frac{R}{\tfrac76 R}\right)^2 = \left(\frac67\right)^2 = \frac{36}{49}

g = 9{,}8\cdot\frac{36}{49} = 7{,}2\ \text{m/s}^2

Dirigido hacia el centro de la Tierra. El satélite está a una altura

h = R/6 = 1062\ \text{km}

; el campo es un 73 % del de la superficie.

(Si se prefiere usar

G

: de

g_0 = GM/R^2

sale

M = g_0R^2/G = 5{,}96\cdot 10^{24}\ \text{kg}

, y con ella

g = GM/r^2 = 7{,}2\ \text{m/s}^2

, el mismo resultado. Por eso

G

R

no hacen falta en el cálculo.)

b) El peso es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la astronauta en ese punto:

P = m\,g = 68\cdot 7{,}2 = 490\ \text{N}

dirigido hacia el centro de la Tierra (en la superficie pesaría

68\cdot 9{,}8 = 666\ \text{N}

).

Aunque dentro del satélite la astronauta «flote», su peso no es cero: ella y el satélite caen libremente juntos alrededor de la Tierra con la misma aceleración, y por eso no nota el apoyo del suelo (ingravidez aparente). Ese peso de 490 N es justo la fuerza centrípeta que la mantiene en órbita.

Consejo

Cuando te dan $g_0$ en la superficie y no la masa del planeta, compara: $g = g_0\,(R/r)^2$ . Te ahorras cuentas con potencias de diez y errores de calculadora.

Los astronautas en órbita sí pesan: lo que no notan es la reacción del suelo, porque caen a la vez que la nave. Si te preguntan por su peso, no contestes «cero».