Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Radio de la órbita:$$r_1 = R + h = 2R = 2\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}274\cdot 10^{7}\ \text{m}$$El producto que aparece en todas las energías es:$$G\,M\,m = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}\cdot 1000 = 3{,}983\cdot 10^{17}\ \text{N}\,\text{m}^2$$En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{G M m}{r_1^2} = \frac{m v^2}{r_1}\quad\Longrightarrow\quad m v^2 = \frac{G M m}{r_1}\quad\Longrightarrow\quad E_c = \frac12 m v^2 = \frac{G M m}{2 r_1}$$$$E_c = \frac{3{,}983\cdot 10^{17}}{2\cdot 1{,}274\cdot 10^{7}} = 1{,}56\cdot 10^{10}\ \text{J}$$(la velocidad orbital es $v = \sqrt{GM/r_1} = 5{,}59\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$).

Energía potencial gravitatoria, con el origen en el infinito:$$E_p = -\frac{G M m}{r_1} = -\frac{3{,}983\cdot 10^{17}}{1{,}274\cdot 10^{7}} = -3{,}13\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Se cumple $E_p = -2E_c$, como en toda órbita circular.

b) La nueva órbita tiene radio $r_2 = R + 3R = 4R = 2{,}548\cdot 10^{7}\ \text{m}$. La energía mecánica de un satélite en órbita circular es:$$E = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{G M m}{2 r}$$$$E_1 = -\frac{3{,}983\cdot 10^{17}}{2\cdot 1{,}274\cdot 10^{7}} = -1{,}563\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad E_2 = -\frac{3{,}983\cdot 10^{17}}{2\cdot 2{,}548\cdot 10^{7}} = -7{,}82\cdot 10^{9}\ \text{J}$$La energía que hay que aportar es la diferencia:$$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{G M m}{2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = -7{,}82\cdot 10^{9} - \left(-1{,}563\cdot 10^{10}\right) = 7{,}82\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Sale positiva: para subir a una órbita más alejada hay que aportar energía, aunque en la nueva órbita la sonda vaya más despacio ($E_c$ pasa de $1{,}56\cdot 10^{10}$ a $7{,}82\cdot 10^{9}\ \text{J}$). Casualmente, como $r_2 = 2r_1$, la energía necesaria coincide con la mitad de la energía cinética inicial.