FísicaFácil2 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

(2 puntos) Indica si la siguiente afirmación es cierta o falsa, razonando la respuesta: «Para que la longitud de una barra se reduzca a la mitad debe viajar a una velocidad de 0,866 c».

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Resultado

\boxed{\;\text{CIERTA:}\ \ L = \frac{L_0}{2}\ \Rightarrow\ v = \frac{\sqrt3}{2}\,c = 0{,}866\,c\;}

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Estrategia

Es la contracción de longitudes de la relatividad especial: un observador respecto del cual la barra se mueve la mide más corta que su longitud propia, en la dirección del movimiento. Se impone que la longitud medida sea la mitad de la propia y se despeja la velocidad.

Desarrollo

Es CIERTA.

Según la relatividad especial, si una barra tiene longitud propia

L_0

(la que mide un observador en reposo respecto de ella), un observador respecto del cual se mueve con velocidad

v

, paralela a la barra, mide una longitud menor:

L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{\gamma},\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Queremos que

L = L_0/2

\frac{L_0}{2} = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\quad\Longrightarrow\quad \frac14 = 1 - \frac{v^2}{c^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2}{c^2} = \frac34

v = \frac{\sqrt3}{2}\,c = 0{,}866\,c

Es decir, la barra debe moverse a

0{,}866\,c \approx 2{,}60\cdot 10^{8}\ \text{m/s}

(factor

\gamma = 2

), tal y como dice la afirmación.

Dos matices que conviene mencionar:

La contracción solo afecta a la dimensión paralela a la velocidad; las perpendiculares no cambian.
Para un observador que viaja con la barra, esta sigue midiendo $L_0$ : la contracción es un efecto de la medida entre sistemas de referencia en movimiento relativo, no un cambio físico de la barra. Es consecuencia de los postulados de Einstein (las leyes de la física son iguales en todos los sistemas inerciales y la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos).

Consejo

Acuérdate de que $\sqrt3/2 = 0{,}866$ : es el $\cos 30^\circ$ , y aparece siempre que $\gamma = 2$ . Contracción a la mitad, dilatación del tiempo al doble: es la misma velocidad.

En un «cierto o falso» no basta con el veredicto: escribe la fórmula, despeja y concluye.