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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

(1 punto) Escribe la expresión de la velocidad de propagación del sonido en los gases e identifica (0,5 puntos) qué magnitudes aparecen en dicha expresión indicando (0,5 puntos) las unidades en las que se mide cada una de ellas en el Sistema Internacional.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v = \sqrt{\dfrac{\gamma\,R\,T}{M}}\;}

v

en m/s;

\gamma

adimensional;

R = 8{,}31\ \text{J}/(\text{mol}\,\text{K})

;

T

en K;

M

en kg/mol.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sonido es una onda mecánica longitudinal: su velocidad depende solo de las propiedades del medio. En un gas ideal se propaga mediante compresiones y enrarecimientos tan rápidos que no hay tiempo de intercambiar calor (proceso adiabático), así que la velocidad depende del coeficiente adiabático, de la temperatura y de la masa molar del gas. Se escribe la fórmula, se explica cada símbolo y se da su unidad en el SI.

Desarrollo

Expresión. La velocidad del sonido en un gas ideal es

v = \sqrt{\frac{\gamma\,R\,T}{M}}

Magnitudes y unidades en el SI:

$v$ : velocidad de propagación del sonido, en $\text{m/s}$ .
$\gamma$ : coeficiente adiabático del gas, cociente entre sus capacidades caloríficas a presión y a volumen constantes, $\gamma = c_p/c_v$ . No tiene unidades (vale $1{,}4$ para el aire y los gases diatómicos y $1{,}67$ para los monoatómicos).
$R$ : constante de los gases ideales, $R = 8{,}31\ \text{J}/(\text{mol}\,\text{K})$ .
$T$ : temperatura absoluta del gas, en kelvin ( $\text{K}$ ).
$M$ : masa molar del gas, en $\text{kg/mol}$ (¡no en g/mol!).

Comprobación de unidades:

\dfrac{\text{J}/(\text{mol}\,\text{K})\cdot\text{K}}{\text{kg/mol}} = \dfrac{\text{J}}{\text{kg}} = \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}

, cuya raíz es

\text{m/s}

.

Forma equivalente. Usando la ecuación de los gases ideales,

p = \rho R T/M

, la misma expresión se escribe en función de la presión

p

(en

\text{Pa}

) y de la densidad

\rho

(en

\text{kg/m}^3

) del gas:

v = \sqrt{\frac{\gamma\,p}{\rho}}

Consecuencias. La velocidad crece con la raíz de la temperatura absoluta y es menor en los gases más pesados. Para el aire (

\gamma = 1{,}4

M = 0{,}029\ \text{kg/mol}

) a

20\ ^\circ\text{C}

(

T = 293\ \text{K}

v = \sqrt{\frac{1{,}4\cdot 8{,}31\cdot 293}{0{,}029}} \approx 343\ \text{m/s}

que es el valor conocido de la velocidad del sonido en el aire.

Consejo

Dos despistes típicos: poner la temperatura en grados Celsius (siempre en kelvin) y la masa molar en g/mol (en el SI va en kg/mol). Con el aire, comprueba que te sale unos 340 m/s.

Recuerda por qué está $\gamma$ : el sonido comprime y expande el gas tan deprisa que el proceso es adiabático, no isotermo (el error de Newton, que le daba un 15 % menos).

Paso 1 de 3

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