FísicaMedio2 pts

Radiactividad y desintegración

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Analizando una muestra radiactiva se comprueba que cuando transcurren 30 días su actividad es una quinta parte de la que tenía al principio.

a) (1 punto) Determina el valor de la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración.

b) (1 punto) Al cabo de esos 30 días se mide la actividad de la muestra y se determina que vale

7{,}88\cdot 10^{14}\ \text{Bq}

. ¿Cuántos átomos radiactivos había inicialmente?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 5{,}36\cdot 10^{-2}\ \text{días}^{-1} = 6{,}21\cdot 10^{-7}\ \text{s}^{-1}\qquad T_{1/2} = 12{,}9\ \text{días}\;}

\boxed{\;N_0 = 6{,}35\cdot 10^{21}\ \text{átomos}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad decae igual que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Con

A/A_0 = 1/5

a los 30 días se despeja

\lambda

tomando logaritmos, y

T_{1/2} = \ln 2/\lambda

. Para b), la actividad inicial es cinco veces la medida, y el número de átomos sale de

A = \lambda N

, con

\lambda

\text{s}^{-1}

porque el becquerel es una desintegración por segundo.

Desarrollo

a) La actividad es proporcional al número de núcleos (

A = \lambda N

), así que sigue la misma ley exponencial:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_0}{5} = A_0\,e^{-\lambda\cdot 30\ \text{d}}\quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 5}{30\ \text{d}}

\lambda = \frac{1{,}609}{30} = 5{,}36\cdot 10^{-2}\ \text{días}^{-1}

En el SI (

1\ \text{día} = 86\,400\ \text{s}

\lambda = \frac{5{,}365\cdot 10^{-2}}{86\,400\ \text{s}} = 6{,}21\cdot 10^{-7}\ \text{s}^{-1}

Periodo de semidesintegración:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{5{,}365\cdot 10^{-2}\ \text{días}^{-1}} = 12{,}9\ \text{días}\ \ (= 1{,}12\cdot 10^{6}\ \text{s})

Tiene sentido: en 30 días pasan algo más de dos periodos (

30/12{,}9 = 2{,}3

), y la actividad cae algo más que a la cuarta parte, a la quinta.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) La actividad a los 30 días es la quinta parte de la inicial, así que:

A_0 = 5\cdot 7{,}88\cdot 10^{14} = 3{,}94\cdot 10^{15}\ \text{Bq}

Y el número inicial de átomos radiactivos, con

\lambda

\text{s}^{-1}

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{3{,}94\cdot 10^{15}\ \text{s}^{-1}}{6{,}209\cdot 10^{-7}\ \text{s}^{-1}} = 6{,}35\cdot 10^{21}\ \text{átomos}

(Se llega a lo mismo calculando primero los que quedan a los 30 días,

N = A/\lambda = 1{,}27\cdot 10^{21}

, y multiplicando por 5.)

Consejo

Para pasar de actividad a número de núcleos, $N = A/\lambda$ , la constante tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ : el becquerel es «desintegraciones por segundo». Con $\lambda$ en días $^{-1}$ el resultado sale 86 400 veces más pequeño.

No hace falta conocer $A_0$ para hallar $\lambda$ : basta el cociente $A/A_0 = 1/5$ .