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Óptica geométrica: lentes y espejos

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Con una lente delgada biconvexa de 3 dioptrías se forma una imagen real, invertida y de tamaño doble que el objeto correspondiente, que es de 2 cm de altura.

a) (1 punto) Dibuja el diagrama de rayos correspondiente y calcula la distancia a la que está el objeto y la distancia a la que se forma la imagen.

b) (1 punto) Si el objeto se coloca ahora a 10 cm de la lente, justifica mediante el diagrama de rayos correspondiente cuáles serán las características de la imagen formada y calcula su tamaño y su posición.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } s = -50\ \text{cm},\quad s' = +100\ \text{cm}\ \ (y' = -4\ \text{cm})\;}

\boxed{\;\text{b) } s' = -14{,}3\ \text{cm},\quad y' = 2{,}86\ \text{cm}:\ \text{virtual, derecha y mayor}\;}

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Estrategia

La potencia da la distancia focal,

f' = 1/P

. Una imagen real e invertida y de doble tamaño significa aumento lateral

M = s'/s = -2

; junto con la ecuación de las lentes,

\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}

, forma un sistema con dos incógnitas. En b) el objeto queda entre el foco y la lente: la lente actúa como lupa.

Desarrollo

Usamos el convenio de signos habitual (normas DIN): la luz va de izquierda a derecha, las distancias se miden desde la lente, positivas a la derecha; el objeto está a la izquierda (

s < 0

).

Distancia focal imagen de la lente (convergente):

f' = \frac{1}{P} = \frac{1}{3\ \text{D}} = 0{,}333\ \text{m} = 33{,}3\ \text{cm}

a) Imagen real, invertida y doble: el aumento lateral es

M = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = -2\quad\Longrightarrow\quad s' = -2s

Sustituimos en la ecuación de las lentes delgadas:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{-2s} - \frac{1}{s} = -\frac{3}{2s} = 3\ \text{m}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad s = -0{,}5\ \text{m}

s' = -2s = 1\ \text{m}

El objeto está a 50 cm delante de la lente y la imagen se forma a 100 cm detrás. Su tamaño es

y' = M\,y = -2\cdot 2 = -4\ \text{cm}

.

Diagrama de rayos. El objeto está entre

F

2F

(el foco objeto está a 33,3 cm y

2F

a 66,7 cm). Se trazan dos rayos desde el extremo superior del objeto:

Un rayo paralelo al eje que, tras la lente, pasa por el foco imagen $F'$ .
Un rayo que pasa por el centro óptico y no se desvía.

Los dos rayos se cortan de verdad a la derecha de la lente, más allá de

2F'

, por debajo del eje: la imagen es real, invertida y mayor (de 4 cm).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Ahora

s = -10\ \text{cm} = -0{,}1\ \text{m}

, más cerca de la lente que el foco objeto (33,3 cm):

\frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{s} = 3 + \frac{1}{-0{,}1} = 3 - 10 = -7\ \text{m}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad s' = -\frac{1}{7}\ \text{m} = -14{,}3\ \text{cm}

Aumento lateral y tamaño:

M = \frac{s'}{s} = \frac{-0{,}1429}{-0{,}1} = 1{,}43\qquad y' = M\,y = 1{,}43\cdot 2 = 2{,}86\ \text{cm}

Diagrama de rayos. Con el objeto entre el foco objeto y la lente, el rayo paralelo al eje sale por

F'

y el que pasa por el centro óptico sigue recto: a la derecha de la lente los dos rayos divergen y no se cortan. Sus prolongaciones hacia atrás se cortan a la izquierda de la lente, en el mismo lado que el objeto y por encima del eje. La imagen es:

virtual (la forman las prolongaciones; $s' < 0$ ), situada a 14,3 cm delante de la lente;
derecha ( $M > 0$ );
mayor que el objeto ( $M = 1{,}43$ ): es el funcionamiento de una lupa.

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Consejo

«Real e invertida» ya te da el signo del aumento: $M = -2$ , no $+2$ . Ese signo es la segunda ecuación del sistema; con $+2$ te saldría una imagen virtual que no es la del enunciado.

Para saber qué imagen da una convergente, compara $|s|$ con $f'$ : si el objeto está dentro del foco, la imagen siempre es virtual, derecha y mayor.