FísicaFácil2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Por una cuerda se propaga una onda cuya función matemática, en unidades del Sistema Internacional, es:

y(x,t) = 0{,}1\sin\left[2\pi\left(5x - 3t\right)\right]

a) (1,2 puntos) Determina: el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de dicha onda.

b) (0,4 puntos) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en

x = 0

a los 0,25 segundos.

c) (0,4 puntos) Halla la velocidad transversal de dicho punto en ese instante.

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Resultado

\boxed{\;\text{sentido } +X\qquad A = 0{,}1\ \text{m}\qquad \lambda = 0{,}2\ \text{m}\qquad f = 3\ \text{Hz}\qquad T = 0{,}333\ \text{s}\qquad v = 0{,}6\ \text{m/s}\;}

\boxed{\;y(0;\ 0{,}25\ \text{s}) = 0{,}1\ \text{m}\qquad v_y = 0\;}

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Estrategia

Se desarrolla el argumento,

y = 0{,}1\sin(10\pi x - 6\pi t)

, y se compara con la forma general

y = A\sin(kx - \omega t)

: de ahí salen

A

k

\omega

, y con ellos

\lambda = 2\pi/k

f = \omega/2\pi

T = 1/f

v = \lambda f

. La velocidad transversal es la derivada de

y

respecto del tiempo.

Desarrollo

a) Desarrollando el argumento:

y(x,t) = 0{,}1\sin\left(10\pi\,x - 6\pi\,t\right)\quad\Longrightarrow\quad A = 0{,}1\ \text{m},\quad k = 10\pi\ \text{rad/m},\quad \omega = 6\pi\ \text{rad/s}

Sentido de propagación: los términos en

x

y en

t

tienen signos opuestos, así que la onda avanza en el sentido positivo del eje X.

Longitud de onda, frecuencia y periodo:

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\ \text{m}\qquad f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3\ \text{Hz}\qquad T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3}\ \text{s} = 0{,}333\ \text{s}

Velocidad de propagación:

v = \lambda\,f = 0{,}2\cdot 3 = 0{,}6\ \text{m/s}

(Se comprueba con

v = \omega/k = 6\pi/10\pi = 0{,}6\ \text{m/s}

.)

b) Para

x = 0

t = 0{,}25\ \text{s}

y(0;\ 0{,}25) = 0{,}1\sin\left[2\pi\left(0 - 3\cdot 0{,}25\right)\right] = 0{,}1\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 0{,}1\cdot 1 = 0{,}1\ \text{m}

El punto está en su elongación máxima (en la cresta).

c) La velocidad transversal (de vibración) es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}1\cdot\left(-6\pi\right)\cos\left[2\pi\left(5x - 3t\right)\right] = -0{,}6\pi\cos\left[2\pi\left(5x - 3t\right)\right]\ \text{m/s}

x = 0

t = 0{,}25\ \text{s}

v_y = -0{,}6\pi\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -0{,}6\pi\cdot 0 = 0\ \text{m/s}

Es lógico: en la elongación máxima el punto se detiene un instante para cambiar de sentido. (Su velocidad máxima, al pasar por

y = 0

, sería

A\,\omega = 0{,}6\pi = 1{,}88\ \text{m/s}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de identificar nada, quita el paréntesis: $2\pi(5x - 3t)$ es $10\pi x - 6\pi t$ , y el 5 no es $k$ ni el 3 es $\omega$ , sino $1/\lambda$ y $f$ .

El argumento del seno está en radianes: pon la calculadora en RAD o, mejor, reconoce que $-3\pi/2$ es un ángulo «redondo» y saca el seno y el coseno de cabeza.