FísicaMedio2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Una masa de 8 kg está situada en el origen de coordenadas. Calcula, teniendo en cuenta que las distancias están expresadas en metros:

a) (0,75 puntos) La intensidad del campo gravitatorio en el punto de coordenadas

(2, 1)

, indicando su carácter vectorial.

b) (0,25 puntos) La fuerza con que la masa de 8 kg atraería a otra masa de 2 kg.

c) (0,5 puntos) La energía potencial de dicha masa de 2 kg.

d) (0,5 puntos) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar la masa de 2 kg desde el punto de coordenadas

(2, 1)

al punto de coordenadas

(1, 1)

.

Datos: Constante de gravitación universal:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec g(2,1) = \left(-9{,}55\cdot 10^{-11}\,\vec i - 4{,}77\cdot 10^{-11}\,\vec j\right)\ \text{N/kg}\qquad g = 1{,}07\cdot 10^{-10}\ \text{N/kg}\;}

\boxed{\;F = 2{,}13\cdot 10^{-10}\ \text{N}\qquad E_p = -4{,}77\cdot 10^{-10}\ \text{J}\qquad W_{A\to B} = 2{,}77\cdot 10^{-10}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo de una masa puntual tiene módulo

GM/r^2

y apunta hacia la masa, así que en

(2, 1)

va hacia el origen: se reparte en componentes con el vector unitario

-\vec r/r

. La fuerza sobre la masa de 2 kg (colocada en ese mismo punto) es

\vec F = m\,\vec g

, y su energía potencial,

E_p = -GMm/r

. El trabajo del campo es menos la variación de energía potencial: como la masa se acerca al origen, saldrá positivo.

Desarrollo

a) Distancia del origen al punto

A(2, 1)

r_A = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} = 2{,}24\ \text{m}

Módulo del campo:

g = \frac{G\,M}{r_A^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8}{5} = 1{,}07\cdot 10^{-10}\ \text{N/kg}

El campo apunta desde

A

hacia la masa (el origen), en el sentido del vector unitario

-\vec u_r = -\dfrac{2\,\vec i + \vec j}{\sqrt 5}

\vec g = -\frac{G\,M}{r_A^2}\,\vec u_r = -1{,}067\cdot 10^{-10}\left(\frac{2}{\sqrt5}\,\vec i + \frac{1}{\sqrt5}\,\vec j\right) = \left(-9{,}55\cdot 10^{-11}\,\vec i - 4{,}77\cdot 10^{-11}\,\vec j\right)\ \text{N/kg}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Si la masa

m = 2\ \text{kg}

se coloca en el punto

A(2, 1)

, la fuerza es la masa por el campo en ese punto:

F = m\,g = \frac{G\,M\,m}{r_A^2} = 2\cdot 1{,}067\cdot 10^{-10} = 2{,}13\cdot 10^{-10}\ \text{N}

\vec F = m\,\vec g = \left(-1{,}91\cdot 10^{-10}\,\vec i - 9{,}55\cdot 10^{-11}\,\vec j\right)\ \text{N}

Es atractiva: dirigida hacia la masa de 8 kg.

c) Energía potencial de la masa de 2 kg en

A

, con el origen de energías en el infinito:

E_p(A) = -\frac{G\,M\,m}{r_A} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8\cdot 2}{\sqrt5} = -4{,}77\cdot 10^{-10}\ \text{J}

d) El punto final

B(1, 1)

está a

r_B = \sqrt{2} = 1{,}41\ \text{m}

del origen, donde:

E_p(B) = -\frac{G\,M\,m}{r_B} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 16}{\sqrt2} = -7{,}55\cdot 10^{-10}\ \text{J}

La fuerza gravitatoria es conservativa, así que su trabajo es menos la variación de energía potencial:

W_{A\to B} = -\left[E_p(B) - E_p(A)\right] = E_p(A) - E_p(B) = -4{,}77\cdot 10^{-10} - \left(-7{,}55\cdot 10^{-10}\right) = 2{,}77\cdot 10^{-10}\ \text{J}

Es positivo: la masa de 2 kg se acerca a la de 8 kg, que la atrae, y el campo realiza el trabajo espontáneamente (la energía potencial disminuye).

Consejo

El campo gravitatorio apunta hacia la masa que lo crea: si la masa está en el origen y el punto en el primer cuadrante, las dos componentes de $\vec g$ salen negativas.

Para el trabajo del campo, piensa antes de operar: si la masa se acerca, el campo «ayuda» y el trabajo es positivo. Si te sale negativo, revisa el orden de la resta.