Campo y potencial gravitatorio

a) El potencial gravitatorio en un punto $P$ del campo creado por una masa puntual $M$ es la energía potencial gravitatoria que tendría la unidad de masa colocada en ese punto:$$V(P) = \frac{E_p(P)}{m}$$Como el campo gravitatorio es conservativo, se puede decir lo mismo con el trabajo: el potencial en $P$ es el trabajo que realiza la fuerza del campo sobre la unidad de masa cuando esta se lleva desde $P$ hasta el infinito, punto que se toma como origen de potenciales ($V_\infty = 0$):$$V(P) = \frac{W_{P\to\infty}}{m}$$Ese trabajo es negativo (la gravedad se opone a que la masa se aleje), así que el potencial gravitatorio es siempre negativo. Dicho de otro modo: $-V(P)$ es el trabajo mínimo que hay que hacer por cada kilogramo para sacar una masa desde $P$ hasta el infinito.

Es una magnitud escalar propia de cada punto: existe aunque no haya ninguna masa en $P$. Si se coloca allí una masa $m$, su energía potencial es $E_p = m\,V$.

b) Para una masa puntual $M$, a una distancia $r$:$$V(r) = -\frac{G\,M}{r}$$donde $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$ es la constante de gravitación universal, $M$ la masa que crea el campo (kg) y $r$ la distancia desde ella hasta el punto (m).

Gráfica. $V$ es inversamente proporcional a $r$ y negativo, así que la curva $V(r)$ es una rama de hipérbola por debajo del eje de distancias:

• cerca de la masa ($r \to 0$) el potencial se hace muy negativo ($V \to -\infty$);
• al alejarse, el potencial aumenta (se hace menos negativo) y tiende a cero por debajo: el eje $r$ es una asíntota ($V \to 0$ cuando $r \to \infty$);
• nunca llega a ser positivo.

Unos cuantos puntos ayudan a dibujarla. Si a una distancia $r_0$ el potencial vale $V_0 = -GM/r_0$:Al doblar la distancia el potencial se reduce a la mitad (en valor absoluto). Las superficies de igual potencial (equipotenciales) son esferas centradas en $M$.

c) En el Sistema Internacional el potencial gravitatorio se mide en julios por kilogramo, $\text{J/kg}$ (energía entre masa). Como $1\ \text{J} = 1\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2$, es equivalente a $\text{m}^2/\text{s}^2$.