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Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2024 · Junio

Enunciado

¿Qué son las superficies equipotenciales? Si en una región del espacio el campo gravitatorio es uniforme y paralelo al eje X, ¿cómo serían las correspondientes superficies equipotenciales? Razone la respuesta.

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Resultado

Superficies equipotenciales: puntos de igual potencial, perpendiculares al campo, sin trabajo al moverse por ellas. Con

\vec g

uniforme según X, son planos

x = \text{cte}

, perpendiculares al eje X y equiespaciados.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se define superficie equipotencial y se usa su propiedad clave: como mover una masa sobre ella no cuesta trabajo, el campo es siempre perpendicular a la superficie. Si el campo es uniforme y paralelo al eje X, las superficies deben ser perpendiculares a ese eje en todos sus puntos: planos

x = \text{constante}

Desarrollo

Definición. Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial gravitatorio,

V = \text{constante}

(el potencial se mide en J/kg).

Propiedades.

Al desplazar una masa $m$ entre dos puntos de la misma superficie, el trabajo del campo es nulo: $W = -m\,\Delta V = 0$ .
Por eso el campo es perpendicular a las superficies equipotenciales en cada punto: si tuviera una componente a lo largo de la superficie, al moverse por ella el campo haría trabajo. Las líneas de campo cortan perpendicularmente a las equipotenciales.
El campo apunta en el sentido en que el potencial disminuye ( $\vec g = -\nabla V$ ) y dos superficies equipotenciales distintas no se cortan nunca.

Ejemplo conocido: alrededor de una masa puntual, las equipotenciales son esferas concéntricas,

V = -GM/r

.

Campo uniforme paralelo al eje X. Si

\vec g = g\,\vec i

(con

g

constante, positivo o negativo), el potencial solo puede cambiar al moverse en la dirección X:

\vec g = -\frac{dV}{dx}\,\vec i\quad\Longrightarrow\quad V(x) = -g\,x + V_0

V

no depende de

y

ni de

z

, así que las superficies equipotenciales son las de

x = \text{constante}

: planos perpendiculares al eje X (paralelos al plano YZ). Como el campo es uniforme, planos separados la misma distancia difieren en el mismo potencial (

\Delta V = -g\,\Delta x

): son planos paralelos y equidistantes para saltos de potencial iguales, y el potencial disminuye al avanzar en el sentido del campo.

Consejo

La clave para razonar es siempre la misma: el campo es perpendicular a las equipotenciales. Dibuja las líneas de campo (rectas paralelas al eje X) y traza las superficies que las cortan en ángulo recto.

No digas que las equipotenciales son «paralelas al campo»: es justo al revés.

Paso 1 de 3

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Responda a1 o a2 a1) Dos masas puntuales,