Óptica geométrica: lentes y espejos

Planteamiento (convenio de signos DIN, luz de izquierda a derecha, lente en el origen). Si la lente está a una distancia $x$ del objeto:$$s = -x\qquad s' = 64 - x\qquad f' = 12\ \text{cm}$$Ecuación de las lentes delgadas:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{64 - x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$$$$\frac{64}{x\,(64 - x)} = \frac{1}{12}\quad\Longrightarrow\quad x^2 - 64x + 768 = 0$$$$x = \frac{64 \pm\sqrt{64^2 - 4\cdot 768}}{2} = \frac{64 \pm 32}{2}\quad\Longrightarrow\quad x_1 = 16\ \text{cm},\quad x_2 = 48\ \text{cm}$$Primera posición: lente a 16 cm del objeto ($s = -16\ \text{cm}$, $s' = 48\ \text{cm}$):$$M_1 = \frac{s'}{s} = \frac{48}{-16} = -3\qquad y'_1 = M_1\,y = -3\cdot 3 = -9\ \text{cm}$$Imagen real, invertida y tres veces mayor que el objeto.

Segunda posición: lente a 48 cm del objeto ($s = -48\ \text{cm}$, $s' = 16\ \text{cm}$):$$M_2 = \frac{s'}{s} = \frac{16}{-48} = -\frac{1}{3}\qquad y'_2 = -\frac{1}{3}\cdot 3 = -1\ \text{cm}$$Imagen real, invertida y tres veces menor.

Las dos posiciones son simétricas (se intercambian objeto e imagen), algo general en este montaje. Hay solución porque la distancia objeto-pantalla supera $4f' = 48\ \text{cm}$.