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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2024 · Junio

Enunciado

Una onda armónica transversal, de amplitud

10\ \text{cm}

, se propaga en el sentido positivo del eje X. En el instante inicial, la elongación es máxima y positiva en el origen. ¿Cuál será la elongación de un punto

P

situado a una distancia

\lambda/6

del origen para el instante

t = T/4

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y_P\left(\tfrac{\lambda}{6}, \tfrac{T}{4}\right) = 0{,}10\cos\tfrac{\pi}{6} = 8{,}66\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 8{,}66\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Escribimos la ecuación de la onda que viaja hacia

+x

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

, y fijamos la fase inicial con la condición

y(0, 0) = +A

. No hace falta conocer

\lambda

T

: al sustituir

x = \lambda/6

t = T/4

, los productos

kx

\omega t

quedan como fracciones de

2\pi

Desarrollo

Ecuación de la onda. Para una onda que avanza en el sentido positivo del eje X:

y(x,t) = A\,\text{sen}\left(\omega t - kx + \varphi_0\right)\qquad \omega = \frac{2\pi}{T},\quad k = \frac{2\pi}{\lambda}

Fase inicial. En

x = 0

t = 0

la elongación es máxima y positiva:

y(0, 0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0 = A\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}

así que

y(x,t) = A\cos\left(\omega t - kx\right)

, con

A = 0{,}10\ \text{m}

.

Fase en P para $t = T/4$ :

\omega t - kx = \frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{4} - \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}

Elongación:

y_P = 0{,}10\cos\frac{\pi}{6} = 0{,}10\cdot\frac{\sqrt 3}{2} = 8{,}66\cdot 10^{-2}\ \text{m}

Tiene sentido: el máximo que estaba en el origen avanza hacia

+x

un cuarto de longitud de onda en

T/4

, así que en ese instante está en

x = \lambda/4

; el punto P, a

\lambda/6

, está a solo

\lambda/12

de ese máximo, cerca de la cresta.

Consejo

Cuando el enunciado da posiciones y tiempos como fracciones de $\lambda$ y $T$ , no inventes valores: sustituye y verás que $kx$ y $\omega t$ quedan como ángulos sencillos.

Cuidado con el signo de $kx$ : hacia $+x$ es $\omega t - kx$ . Con el signo cambiado saldría $\cos(5\pi/6)$ , una elongación negativa.