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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla y León · 2024 · Junio
Enunciado
Un satélite artificial se encuentra en órbita circular alrededor de la Tierra moviéndose a una velocidad de 6,9 km⋅s−16{,}9\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}. Si la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite en dicha órbita es 5700 N5700\ \text{N}, calcule su masa.

Datos (de la tabla de constantes del examen): G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}.
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Resultado
  m≈1,00⋅103 kg  \boxed{\;m \approx 1{,}00\cdot 10^{3}\ \text{kg}\;}  r=8,38⋅106 m  \boxed{\;r = 8{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. De ahí sale la velocidad orbital, v2=GMT/rv^2 = GM_T/r, que nos da el radio de la órbita. Con el radio, la propia fuerza centrípeta F=mv2/rF = mv^2/r permite despejar la masa del satélite.
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Desarrollo

La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta del movimiento circular:GMTmr2=mv2r⟹r=GMTv2\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G M_T}{v^2}Con v=6,9 km/s=6,9⋅103 m/sv = 6{,}9\ \text{km/s} = 6{,}9\cdot 10^{3}\ \text{m/s}:r=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024(6,9⋅103)2=8,38⋅106 mr = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{\left(6{,}9\cdot 10^{3}\right)^2} = 8{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}(unos 2000 km2000\ \text{km} por encima de la superficie). Ahora, de F=mv2/rF = m v^2/r:m=F rv2=5700⋅8,378⋅106(6,9⋅103)2=1,00⋅103 kgm = \frac{F\,r}{v^2} = \frac{5700\cdot 8{,}378\cdot 10^{6}}{\left(6{,}9\cdot 10^{3}\right)^2} = 1{,}00\cdot 10^{3}\ \text{kg}Las dos ecuaciones juntas dan la expresión directa m=F GMTv4m = \dfrac{F\,G M_T}{v^4}, con el mismo resultado.
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Consejo

La masa del satélite no influye en su velocidad orbital, pero sí en la fuerza que sufre: por eso hace falta el dato de la fuerza para obtenerla.

No olvides pasar los km/s a m/s antes de elevar al cuadrado.
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