Campo y potencial gravitatorio

Velocidad de escape. Un cuerpo lanzado desde la superficie con la velocidad justa llega al infinito ($E_p = 0$) con velocidad nula, así que su energía mecánica es cero:$$\frac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM_L}{R_L}} = \sqrt{2\,g_L\,R_L}$$donde se ha usado $g_L = GM_L/R_L^2$.

Radio de la Luna. Dividimos la gravedad superficial de la Luna entre la de la Tierra:$$\frac{g_L}{g_0} = \frac{M_L}{M_T}\cdot\frac{R_T^2}{R_L^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{6} = \frac{1}{81}\cdot\frac{R_T^2}{R_L^2}\quad\Longrightarrow\quad R_L = R_T\sqrt{\frac{6}{81}} = \frac{\sqrt 6}{9}\,R_T$$$$R_L = \frac{\sqrt 6}{9}\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}73\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Gravedad en la Luna:$$g_L = \frac{g_0}{6} = \frac{9{,}80}{6} = 1{,}63\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Velocidad de escape lunar:$$v_e = \sqrt{2\cdot 1{,}633\cdot 1{,}734\cdot 10^{6}} = 2{,}38\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Comprobación: la de la Tierra es $\sqrt{2g_0R_T} = 11{,}2\ \text{km/s}$, y $v_{e,L}/v_{e,T} = \sqrt{(g_L/g_0)(R_L/R_T)} = 0{,}213$, que da otra vez $2{,}38\ \text{km/s}$. El radio obtenido coincide casi exactamente con el real de la Luna ($1{,}74\cdot 10^{6}\ \text{m}$).