Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Sea un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ (medido desde el centro) alrededor de un planeta de masa $M$, con $G$ la constante de gravitación ($6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$).

La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M}{r}$$Energía cinética del satélite:$$E_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac{G\,M\,m}{2\,r}$$Energía potencial gravitatoria (origen en el infinito):$$E_p = -\frac{G\,M\,m}{r}$$Comparando las dos expresiones:$$E_c = -\frac{E_p}{2}\qquad\text{o bien}\qquad E_p = -2\,E_c$$La energía cinética es positiva y vale la mitad del valor absoluto de la potencial, que es negativa. En consecuencia, la energía mecánica es$$E_m = E_c + E_p = \frac{E_p}{2} = -E_c = -\frac{G\,M\,m}{2\,r} < 0$$negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta. Cuanto más baja es la órbita, mayor es $E_c$ (va más deprisa) y más negativas son $E_p$ y $E_m$.