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Campo magnético creado por corrientes

Castilla y León · 2024 · Julio
Enunciado
Dos hilos rectilíneos, paralelos y de longitud infinita, están separados una distancia d=6 cmd = 6\ \text{cm}. La intensidad de la corriente eléctrica que circula por el primero tiene un valor I1=2 AI_1 = 2\ \text{A} y el sentido mostrado en la figura. En un punto PP, situado a una distancia x=3 cmx = 3\ \text{cm} de dicho hilo y en el mismo plano que los hilos (ver figura), el campo magnético total cumple la condición: B⃗T=(2/3) B⃗1\vec B_T = (2/3)\,\vec B_1 (donde B⃗1\vec B_1 es el campo creado por el primer hilo en el punto PP). Determine el valor y el sentido de la corriente que circula por el segundo hilo.
Dos hilos verticales y paralelos. El de la izquierda lleva la corriente I1 hacia arriba; el de la derecha está a una distancia d de él. El punto P está a la izquierda del primer hilo, a una distancia x, en el mismo plano.
Dos hilos verticales y paralelos. El de la izquierda lleva la corriente I1 hacia arriba; el de la derecha está a una distancia d de él. El punto P está a la izquierda del primer hilo, a una distancia x, en el mismo plano.
Datos (de la tabla de constantes del examen): μ0=4π⋅10−7 N A−2\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}.
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Resultado
  I2=2 A, hacia abajo (sentido contrario a I1)  \boxed{\;I_2 = 2\ \text{A},\ \text{hacia abajo (sentido contrario a } I_1)\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El campo de un hilo infinito vale B=μ0I/(2πr)B = \mu_0 I/(2\pi r) y sus líneas son circunferencias alrededor del hilo (regla de la mano derecha). Como B⃗T=B⃗1+B⃗2\vec B_T = \vec B_1 + \vec B_2, la condición dada equivale a B⃗2=−13 B⃗1\vec B_2 = -\tfrac13\,\vec B_1: el segundo hilo crea en PP un campo opuesto al del primero y tres veces menor. De ahí salen el valor y el sentido de I2I_2.
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Desarrollo

Distancias de PP a cada hilo: r1=x=0,03 mr_1 = x = 0{,}03\ \text{m} y r2=x+d=0,09 mr_2 = x + d = 0{,}09\ \text{m} (el punto está a la izquierda de los dos).

Campo del primer hilo en PP:B1=μ0 I12π r1=4π⋅10−7⋅22π⋅0,03=1,33⋅10−5 TB_1 = \frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,r_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 0{,}03} = 1{,}33\cdot 10^{-5}\ \text{T}Con la corriente hacia arriba y PP a la izquierda, la regla de la mano derecha da B⃗1\vec B_1 saliente del papel.

De B⃗T=B⃗1+B⃗2=23 B⃗1\vec B_T = \vec B_1 + \vec B_2 = \tfrac23\,\vec B_1:B⃗2=−13 B⃗1⟹B2=B13=4,44⋅10−6 T, entrante en el papel\vec B_2 = -\frac13\,\vec B_1\quad\Longrightarrow\quad B_2 = \frac{B_1}{3} = 4{,}44\cdot 10^{-6}\ \text{T},\ \text{entrante en el papel}Valor de I2I_2:μ0 I22π r2=13 μ0 I12π r1⟹I2=I13 r2r1=23⋅0,090,03=2 A\frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,r_2} = \frac13\,\frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,r_1}\quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{I_1}{3}\,\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{0{,}09}{0{,}03} = 2\ \text{A}Sentido: PP también está a la izquierda del segundo hilo. Para que su campo en PP sea entrante, la corriente tiene que ir hacia abajo, es decir, en sentido contrario a I1I_1.

Comprobación: BT=1,333⋅10−5−4,44⋅10−6=8,89⋅10−6 T=23 B1B_T = 1{,}333\cdot 10^{-5} - 4{,}44\cdot 10^{-6} = 8{,}89\cdot 10^{-6}\ \text{T} = \tfrac23\,B_1, saliente.
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Consejo

Traduce primero la condición vectorial: B⃗T=23B⃗1\vec B_T = \tfrac23\vec B_1 significa que B⃗2\vec B_2 resta un tercio de B⃗1\vec B_1. Si la corriente fuera en el mismo sentido, los campos se sumarían en PP.
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