FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio
Enunciado
Un haz de electrones circula en la dirección horizontal (eje +X+X) dentro de un tubo de vacío con una velocidad de 106 m/s10^{6}\,\text{m/s}, y entra en una región donde, mediante un imán, se aplica un campo magnético de 0,04 T0{,}04\,\text{T} en la dirección vertical (eje +Y+Y).

a) Escriba la expresión vectorial de la fuerza que actúa sobre los electrones y describa cualitativamente, a partir de ella, la trayectoria que seguirán, incluyendo un esquema.

b) Calcule los valores numéricos del radio y del periodo del movimiento, deduciendo las expresiones correspondientes.

c) Queremos añadir un campo eléctrico que mantenga la trayectoria rectilínea original. Indique en qué dirección y sentido habría que aplicarlo y cuál debería ser su valor.

Datos: me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}; qe=−1,6⋅10−19 Cq_e = -1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}.
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Resultado
  F⃗=−6,4⋅10−15 k⃗ NR=1,42⋅10−4 mT=8,93⋅10−10 s  \boxed{\;\vec F = -6{,}4\cdot 10^{-15}\,\vec k\ \text{N}\qquad R = 1{,}42\cdot 10^{-4}\ \text{m}\qquad T = 8{,}93\cdot 10^{-10}\ \text{s}\;}  E⃗=−4⋅104 k⃗ V/m  \boxed{\;\vec E = -4\cdot 10^{4}\,\vec k\ \text{V/m}\;}
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Estrategia

La fuerza de Lorentz, F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B, es perpendicular a la velocidad y al campo: no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección, así que el electrón describe una circunferencia en el plano perpendicular a B⃗\vec B (el plano XZXZ). Igualando la fuerza magnética a la centrípeta salen radio y periodo.

En c), la fuerza eléctrica debe anular a la magnética: E⃗=−v⃗×B⃗\vec E = -\vec v\times\vec B, con módulo E=vBE = vB.
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Desarrollo

a) Con v⃗=106 i⃗\vec v = 10^{6}\,\vec i y B⃗=0,04 j⃗\vec B = 0{,}04\,\vec j:F⃗=q v⃗×B⃗=(−1,6⋅10−19)⋅106⋅0,04 (i⃗×j⃗)=−6,4⋅10−15 k⃗ N\vec F = q\,\vec v\times\vec B = (-1{,}6\cdot 10^{-19})\cdot 10^{6}\cdot 0{,}04\,(\vec i\times\vec j) = -6{,}4\cdot 10^{-15}\,\vec k\ \text{N}La fuerza apunta hacia −Z-Z y es siempre perpendicular a la velocidad: el electrón describe un movimiento circular uniforme en el plano XZXZ, curvándose inicialmente hacia −Z-Z. (En el esquema: el electrón entra por +X+X, con B⃗\vec B hacia arriba, y gira hacia −Z-Z.)

b) La fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:∣q∣ vB=mv2R⟹R=mv∣q∣B=9,1⋅10−31⋅1061,6⋅10−19⋅0,04=1,42⋅10−4 m|q|\,v B = \frac{m v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m v}{|q| B} = \frac{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}04} = 1{,}42\cdot 10^{-4}\ \text{m}T=2πRv=2πm∣q∣B=2π⋅9,1⋅10−311,6⋅10−19⋅0,04=8,93⋅10−10 sT = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{|q| B} = \frac{2\pi\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}04} = 8{,}93\cdot 10^{-10}\ \text{s}El periodo no depende de la velocidad.

c) Para que el electrón siga recto, qE⃗+q v⃗×B⃗=0q\vec E + q\,\vec v\times\vec B = 0:E⃗=−v⃗×B⃗=−(106⋅0,04) (i⃗×j⃗)=−4⋅104 k⃗  V/m\vec E = -\vec v\times\vec B = -(10^{6}\cdot 0{,}04)\,(\vec i\times\vec j) = -4\cdot 10^{4}\,\vec k\ \ \text{V/m}Un campo de 4⋅104 V/m4\cdot 10^{4}\,\text{V/m} dirigido según −Z-Z. Comprobación: la fuerza eléctrica sobre el electrón es qE⃗=(−1,6⋅10−19)(−4⋅104 k⃗)=+6,4⋅10−15 k⃗ Nq\vec E = (-1{,}6\cdot 10^{-19})(-4\cdot 10^{4}\,\vec k) = +6{,}4\cdot 10^{-15}\,\vec k\ \text{N}, igual y opuesta a la magnética.
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Consejo

Con electrones, mete el signo negativo de la carga en el producto vectorial: la fuerza sale en sentido contrario al que da la regla de la mano derecha. Y el campo eléctrico del apartado c) no depende de la carga: vale para cualquier partícula con esa velocidad.
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