FísicaMedioProblema · 3 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

Nos encontramos en una nave espacial de

50\,000\,\text{kg}

sobre la superficie de Mercurio. Sabemos que el radio de este planeta es

2440\,\text{km}

y su masa,

3{,}3\cdot 10^{23}\,\text{kg}

.

a) Determine el valor de la gravedad en la superficie de Mercurio y el peso que tendrá allí la nave.

b) Deduzca la expresión de la velocidad que necesita la nave para abandonar el planeta y calcule su valor en este caso.

c) Suponiendo que, cuando se encuentra a una altura de 9 veces el radio de Mercurio, su velocidad es de

1\,\text{km/s}

, determine a qué altura (en km) se parará antes de volver a caer sobre Mercurio.

Dato:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;g_0 = 3{,}70\ \text{m/s}^2\qquad P = 1{,}85\cdot 10^{5}\ \text{N}\qquad v_e = 4{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad h \approx 5{,}23\cdot 10^{4}\ \text{km}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a),

g_0 = GM/R^2

y el peso es

m g_0

. En b), la velocidad de escape es la que hace nula la energía mecánica total. En c), conservación de la energía mecánica entre el punto dado y el punto más alto (

v = 0

). Atención: una altura de 9 radios sobre la superficie es una distancia de

10R

al centro.

Desarrollo

Datos:

R = 2{,}44\cdot 10^{6}\,\text{m}

;

GM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3{,}3\cdot 10^{23} = 2{,}20\cdot 10^{13}\,\text{m}^3\,\text{s}^{-2}

.

a) Gravedad en la superficie y peso:

g_0 = \frac{G M}{R^2} = \frac{2{,}20\cdot 10^{13}}{(2{,}44\cdot 10^{6})^2} = 3{,}70\ \text{m/s}^2 \qquad P = m\,g_0 = 5\cdot 10^{4}\cdot 3{,}70 = 1{,}85\cdot 10^{5}\ \text{N}

b) Para abandonar el planeta, la nave debe llegar al infinito con velocidad nula: energía mecánica total cero.

\frac12 m v_e^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}20\cdot 10^{13}}{2{,}44\cdot 10^{6}}} = 4{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

c) Punto inicial:

r_0 = R + 9R = 10R = 2{,}44\cdot 10^{7}\,\text{m}

v_0 = 10^{3}\,\text{m/s}

. Conservación de la energía hasta el punto más alto:

\frac12 m v_0^2 - \frac{G M m}{r_0} = -\frac{G M m}{r_{\text{máx}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r_{\text{máx}}} = \frac{1}{r_0} - \frac{v_0^2}{2 G M} = \frac{1}{2{,}44\cdot 10^{7}} - \frac{10^{6}}{4{,}40\cdot 10^{13}}

r_{\text{máx}} = 5{,}47\cdot 10^{7}\ \text{m} \qquad h = r_{\text{máx}} - R = 5{,}23\cdot 10^{7}\ \text{m} \approx 5{,}23\cdot 10^{4}\ \text{km}

Consejo

«Altura de 9 veces el radio» se mide desde la superficie: en las fórmulas va $r = 10R$ . Y el resultado de c) pide la altura: réstale el radio a la distancia al centro.