FísicaMedioProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

Una onda armónica se propaga por el espacio a una velocidad de

350\,\text{m/s}

y viene descrita por la función de onda

y(x,t) = 5\sin(kx - 10\pi t + \phi)

, con todas las unidades en el SI. Sabiendo que

y(0,0) = 2{,}5\,\text{m}

y que la velocidad de oscilación en

(0,0)

es negativa, determine justificadamente:

a) Los valores del número de onda y del desfase inicial.

b) El valor numérico de la velocidad de oscilación en

(0,0)

y la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del espacio.

c) La aceleración máxima de oscilación de un punto cualquiera, y la diferencia de fase (expresada en grados) de un punto cualquiera entre dos instantes separados

0{,}025\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;k = \frac{\pi}{35} = 8{,}98\cdot 10^{-2}\ \text{rad/m}\qquad \phi = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}\;}

\boxed{\;v_y(0,0) = -136\ \text{m/s}\qquad v_{\text{máx}} = 157\ \text{m/s}\qquad a_{\text{máx}} = 4{,}93\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2\qquad \Delta\varphi = 45^\circ\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación se leen

A = 5\,\text{m}

\omega = 10\pi\ \text{rad/s}

; con la velocidad de propagación sale

k = \omega/v

. La fase inicial tiene dos candidatos que cumplen

\sin\phi = 1/2

; la condición de que la velocidad de oscilación sea negativa decide cuál.

La velocidad de oscilación es la derivada de

y

respecto del tiempo; su máximo es

A\omega

, y el de la aceleración,

A\omega^2

. Para un mismo punto, la fase cambia

\omega\,\Delta t

en un intervalo

\Delta t

Desarrollo

a) Número de onda:

k = \frac{\omega}{v} = \frac{10\pi}{350} = \frac{\pi}{35} = 8{,}98\cdot 10^{-2}\ \text{rad/m}

Fase inicial:

y(0,0) = 5\sin\phi = 2{,}5 \Rightarrow \sin\phi = 0{,}5

, así que

\phi = \pi/6

\phi = 5\pi/6

.

Velocidad de oscilación:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -50\pi\cos(kx - 10\pi t + \phi) \quad\Longrightarrow\quad v_y(0,0) = -50\pi\cos\phi

Para que sea negativa hace falta

\cos\phi > 0

: de los dos candidatos solo vale

\phi = \pi/6

\phi = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}\ (30^\circ)

b) Velocidad de oscilación en

(0,0)

v_y(0,0) = -50\pi\cos\frac{\pi}{6} = -136\ \text{m/s}

Velocidad máxima de oscilación:

v_{\text{máx}} = A\,\omega = 5\cdot 10\pi = 50\pi = 157\ \text{m/s}

c) Aceleración máxima:

a_{\text{máx}} = A\,\omega^2 = 5\cdot (10\pi)^2 = 500\pi^2 = 4{,}93\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2

Diferencia de fase de un mismo punto entre dos instantes separados

\Delta t = 0{,}025\,\text{s}

\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = 10\pi\cdot 0{,}025 = \frac{\pi}{4}\ \text{rad} = 45^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\sin\phi = 0{,}5$ tiene dos soluciones entre $0$ y $2\pi$ : escríbelas las dos y descarta una con el dato de la velocidad. Es justo lo que se valora en este apartado.

Paso 1 de 3

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