Campo magnético creado por corrientes

a) Hilo 1, en $(2,0)$, corriente saliente ($+Z$), a $r_1 = 2\,\text{m}$ del origen:$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 2} = 2\cdot 10^{-7}\ \text{T}$$Con corriente saliente las líneas giran en sentido antihorario; en el origen (a la izquierda del hilo) el campo apunta hacia $-Y$: $\vec B_1 = -2\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{T}$.

Hilo 2, en $(0,4)$, corriente entrante ($-Z$), a $r_2 = 4\,\text{m}$:$$B_2 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 4} = 1\cdot 10^{-7}\ \text{T}$$Con corriente entrante las líneas giran en sentido horario; en el origen (debajo del hilo) el campo apunta hacia $-X$: $\vec B_2 = -1\cdot 10^{-7}\,\vec i\ \text{T}$.$$\vec B_O = -1\cdot 10^{-7}\,\vec i - 2\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{T} \qquad |\vec B_O| = \sqrt{1^2 + 2^2}\cdot 10^{-7} = 2{,}24\cdot 10^{-7}\ \text{T}$$b) Distancia entre los hilos: $d = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 4{,}47\,\text{m}$.$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2\cdot 2}{2\pi\cdot 4{,}47} = 1{,}79\cdot 10^{-7}\ \text{N/m}$$Las corrientes tienen sentidos opuestos, así que la fuerza es repulsiva: el campo de cada hilo, actuando sobre la corriente del otro, da una fuerza $I\,\vec L\times\vec B$ que los separa.

c) El campo del hilo 1 no cambia: $\vec B_1 = -2\cdot 10^{-7}\,\vec j$. Para que el total vaya por la bisectriz, la componente $x$ (del hilo 2) debe valer lo mismo:$$\frac{\mu_0 I'}{2\pi\cdot 4} = 2\cdot 10^{-7} \quad\Longrightarrow\quad I' = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 2\pi\cdot 4}{4\pi\cdot 10^{-7}} = 4\ \text{A}$$con el mismo sentido (entrante). Entonces $\vec B_O = -2\cdot 10^{-7}\,(\vec i + \vec j)\ \text{T}$, a lo largo de la bisectriz (hacia el tercer cuadrante).